Seis bolas diferentes são colocados aleatoriamente em três urnas diferentes. Determine a probabilidade:
(a) de que todas as urnas estejam ocupadas;
(a) de que todas as urnas estejam ocupadas;
Passo 1
Beleza, então o enunciado é: a gente tem 6 bolas todas diferentes e vai jogá-las aleatoriamente em 3 urnas também diferentes. A questão (a) pede a probabilidade de todas as urnas ficarem ocupadas (isto é, nenhuma urninha vazia).
Conteúdo: é um problema de probabilidade clássica e contagem (combinatória).
O que vamos precisar:
Conteúdo: é um problema de probabilidade clássica e contagem (combinatória).
O que vamos precisar:
- Saber que, como cada bola pode ir em qualquer uma das 3 urnas, o número total de jeitos é
. - Contar de quantas formas todas as urnas recebem pelo menos uma bola (usando o princípio da inclusão-exclusão).
- Dividir “formas favoráveis” por “formas totais” pra achar a probabilidade.
Passo 2
Primeiro, o espaço amostral (todas as formas de distribuir as 6 bolas) tem tamanho
Aqui a ideia é: cada uma das 6 bolas tem 3 escolhas independentes de urna.
Passo 3
Agora vamos achar as formas favoráveis, ou seja, as distribuições onde nenhuma das 3 urnas fica vazia.
Usamos o princípio da inclusão-exclusão:
Usamos o princípio da inclusão-exclusão:
- Começamos com todas as distribuições possíveis:
.#favoráveis =3^6 ;-; 3cdot2^6 ;+; 3cdot1^6 - Subtraímos as distribuições em que pelo menos uma urna está vazia.
- Tem 3 urnas, então somamos as configurações com cada urna vazia:
(se uma urna está vazia, as bolas só têm 2 opções de urnas).
- Tem 3 urnas, então somamos as configurações com cada urna vazia:
- Mas aí a gente subtraiu duas vezes as configurações em que duas urnas estão vazias, então precisa adicionar de volta:
- Tem
escolhas de par de urnas vazias, e aí todas as bolas vão na urna que sobrou, ou seja .
- Tem
Pela inclusão-exclusão:
Passo 4
Só calcular:
Logo
E aí a probabilidade é
A gente pode simplificar dividindo por 27:
Resposta
A probabilidade de todas as urnas estarem ocupadas é