Seis bolas diferentes são colocados aleatoriamente em três urnas diferentes. Determine a probabilidade:
(a) de que todas as urnas estejam ocupadas;

Passo 1

Beleza, então o enunciado é: a gente tem 6 bolas todas diferentes e vai jogá-las aleatoriamente em 3 urnas também diferentes. A questão (a) pede a probabilidade de todas as urnas ficarem ocupadas (isto é, nenhuma urninha vazia).
Conteúdo: é um problema de probabilidade clássica e contagem (combinatória).
O que vamos precisar:
  • Saber que, como cada bola pode ir em qualquer uma das 3 urnas, o número total de jeitos é .
  • Contar de quantas formas todas as urnas recebem pelo menos uma bola (usando o princípio da inclusão-exclusão).
  • Dividir “formas favoráveis” por “formas totais” pra achar a probabilidade.

Passo 2

Primeiro, o espaço amostral (todas as formas de distribuir as 6 bolas) tem tamanho
underbrace3 times 3 times cdots times 36 vezes ;=; 3^6
Aqui a ideia é: cada uma das 6 bolas tem 3 escolhas independentes de urna.

Passo 3

Agora vamos achar as formas favoráveis, ou seja, as distribuições onde nenhuma das 3 urnas fica vazia.
Usamos o princípio da inclusão-exclusão:
  1. Começamos com todas as distribuições possíveis: #favoráveis =3^6 ;-; 3cdot2^6 ;+; 3cdot1^6 .
  2. Subtraímos as distribuições em que pelo menos uma urna está vazia.
    • Tem 3 urnas, então somamos as configurações com cada urna vazia: (se uma urna está vazia, as bolas só têm 2 opções de urnas).
  3. Mas aí a gente subtraiu duas vezes as configurações em que duas urnas estão vazias, então precisa adicionar de volta:
    • Tem escolhas de par de urnas vazias, e aí todas as bolas vão na urna que sobrou, ou seja .
Pela inclusão-exclusão:
á

Passo 4

Só calcular:
3^6 =729, 2^6 =64, 1^6 =1
Logo
#favoráveis =729 ;-; 3cdot64 ;+;3cdot1 =729 -192 +3 =540 á
E aí a probabilidade é
P = #favoráveis#totais = 540729 á
A gente pode simplificar dividindo por 27:
540729 = 2027

Resposta

A probabilidade de todas as urnas estarem ocupadas é
boxed2027

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