Uma moeda é jogada 10 vezes, e cada jogada pode resultar cara ou coroa. Quantos são os resultados:
Que contêm no máximo três coroas?

Passo 1

O enunciado pergunta quantos resultados possíveis de 10 lançamentos de uma moeda contêm no máximo três coroas. Informações dadas:
  • 10 lançamentos independentes.
  • Cada lançamento tem dois resultados possíveis: cara ou coroa.
  • “No máximo três coroas” significa que o número de coroas pode ser 0,1,2 ou 3.
    O que precisa ser respondido: o total de sequências de resultados (cada sequência descreve o resultado de todos os 10 lançamentos) que têm até três coroas.

Passo 2

Ideia de contagem que vamos usar (sem ainda aplicar fórmulas): dividir os resultados por quantas coroas aparecem, contar quantos resultados têm exatamente k coroas para cada k\in\{0,1,2,3\} e somar essas quantidades. Isso porque os casos com números diferentes de coroas são disjuntos e cobrem todos os eventos “no máximo três coroas”.

Passo 3

Apresento a ferramenta matemática que serve para contar quantas sequências têm exatamente k coroas: o coeficiente binomial. A fórmula é
\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}.
Explicação detalhada:
  • \binom{n}{k} lê-se “n escolhe k” e dá o número de formas de escolher k posições distintas entre n posições.
  • n! (fatorial de n) é o produto dos inteiros positivos até n: n!=n\cdot(n-1)\cdot\ldots\cdot2\cdot1. Por convensão 0!=1.
  • Na fórmula, n é o número total de itens (aqui n=10 lançamentos) e k é o número de itens a escolher (aqui o número de coroas).
  • Raciocínio: para contar sequências com exatamente k coroas escolhemos em quais k dos 10 lançamentos aparecerão as coroas; as demais posições serão caras. O número de escolhas de k posições entre 10 é \binom{10}{k}.
    Para tornar concreto, um exemplo pequeno: em 3 lançamentos, o número de sequências com exatamente 1 coroa é \binom{3}{1}=3. De fato as sequências são (C=coroa, K=cara): C K K, K C K, K K C — três possibilidades, uma para cada posição onde a coroa pode ocorrer. O mesmo raciocínio escala para 10 lançamentos.

Passo 4

Aplicando isso ao problema: o número de sequências com exatamente k coroas é \binom{10}{k}. Precisamos somar para k=0,1,2,3:
Calculemos cada termo com detalhes:
\binom{10}{0}=\frac{10!}{0!\,10!}=1.
\binom{10}{1}=\frac{10!}{1!\,9!}=\frac{10\cdot9!}{1\cdot9!}=10.
\binom{10}{2}=\frac{10!}{2!\,8!}=\frac{10\cdot9\cdot8!}{2\cdot1\cdot8!}=\frac{10\cdot9}{2}=45.
\binom{10}{3}=\frac{10!}{3!\,7!}=\frac{10\cdot9\cdot8\cdot7!}{3\cdot2\cdot1\cdot7!}=\frac{10\cdot9\cdot8}{6}=\frac{720}{6}=120.

Passo 5

Somando as quantidades para k=0,1,2,3:
\binom{10}{0}+\binom{10}{1}+\binom{10}{2}+\binom{10}{3}=1+10+45+120=176.
Breve verificação extra (opcional): o número total de resultados possíveis é 2^{10}=1024, e 176 é razoável como a parcela com poucas coroas; a fração correspondente seria \dfrac{176}{1024}=\dfrac{11}{64}, se fosse preciso a probabilidade.

Resposta

176

Exercícios relacionados