Uma moeda é jogada 10 vezes, e cada jogada pode resultar cara ou coroa. Quantos são os resultados:
Que contêm no máximo três coroas?
Que contêm no máximo três coroas?
Passo 1
O enunciado pergunta quantos resultados possíveis de 10 lançamentos de uma moeda contêm no máximo três coroas. Informações dadas:
- Há
lançamentos independentes. - Cada lançamento tem dois resultados possíveis: cara ou coroa.
- “No máximo três coroas” significa que o número de coroas pode ser
ou .
O que precisa ser respondido: o total de sequências de resultados (cada sequência descreve o resultado de todos os 10 lançamentos) que têm até três coroas.
Passo 2
Ideia de contagem que vamos usar (sem ainda aplicar fórmulas): dividir os resultados por quantas coroas aparecem, contar quantos resultados têm exatamente
coroas para cada
e somar essas quantidades. Isso porque os casos com números diferentes de coroas são disjuntos e cobrem todos os eventos “no máximo três coroas”.
Passo 3
Apresento a ferramenta matemática que serve para contar quantas sequências têm exatamente
coroas: o coeficiente binomial. A fórmula é
Explicação detalhada:
-
lê-se “n escolhe k” e dá o número de formas de escolher posições distintas entre posições. -
(fatorial de ) é o produto dos inteiros positivos até : . Por convensão . - Na fórmula,
é o número total de itens (aqui lançamentos) e é o número de itens a escolher (aqui o número de coroas). - Raciocínio: para contar sequências com exatamente
coroas escolhemos em quais dos lançamentos aparecerão as coroas; as demais posições serão caras. O número de escolhas de posições entre é .
Para tornar concreto, um exemplo pequeno: emlançamentos, o número de sequências com exatamente coroa é . De fato as sequências são (C=coroa, K=cara): C K K, K C K, K K C — três possibilidades, uma para cada posição onde a coroa pode ocorrer. O mesmo raciocínio escala para lançamentos.
Passo 4
Aplicando isso ao problema: o número de sequências com exatamente
coroas é
. Precisamos somar para
:
Calculemos cada termo com detalhes:
Calculemos cada termo com detalhes:
Passo 5
Somando as quantidades para
:
Breve verificação extra (opcional): o número total de resultados possíveis é
, e
é razoável como a parcela com poucas coroas; a fração correspondente seria
, se fosse preciso a probabilidade.