Um grupo de estudantes do ensino médio foi submetido a um teste de matemática resultando em:
Nota Frequência
[0,2) 14
[2,4) 28
[4,6) 27
[6,8) 11
[8,10) 4
(a) Calcule a nota média, mediana e a variância.
(b) Calcule e interprete o terceiro quartil da nota.

Passo 1

O enunciado fornece as notas de N alunos agrupadas em classes [0,2),[2,4),[4,6),[6,8),[8,10) com frequências f_i. Precisamos calcular a média, a mediana e a variância usando os pontos médios de cada classe e depois obter o terceiro quartil Q_3 por interpolação linear na classe correspondente.

Passo 2

Para a média aritmética de dados agrupados, usamos os pontos médios x_i de cada classe e a soma \sum f_i x_i:
x_1=1,\;x_2=3,\;x_3=5,\;x_4=7,\;x_5=9,
\sum f_i x_i =14\cdot1 +28\cdot3 +27\cdot5 +11\cdot7 +4\cdot9 =346,
N = \sum f_i =14+28+27+11+4 =84.
Logo,
\bar x = \frac{\sum f_i x_i}{N} = \frac{346}{84} \approx 4,12.

Passo 3

A mediana está na posição \tfrac{N}{2}=42. As frequências acumuladas são
14,\;14+28=42,\;42+27=69,\dots
Como a 42ª observação cai na classe [2,4), usamos interpolação:
\text{Mediana} = L + \frac{\tfrac{N}{2}-F_{\text{ant}}}{f_{\text{med}}}\,h,
onde L=2, F_{\text{ant}}=14, f_{\text{med}}=28 e h=2. Assim,
\text{Mediana} = 2 + \frac{42-14}{28}\times2 =2 +1\times2 =4,00.

Passo 4

Para a variância populacional:
\sum f_i x_i^2 =14\cdot1^2 +28\cdot3^2 +27\cdot5^2 +11\cdot7^2 +4\cdot9^2 =1804,
\sigma^2 = \frac{\sum f_i x_i^2}{N} - \bar x^{2} = \frac{1804}{84} - (4,1190)^{2} \approx 21,4762 -16,9723 =4,50.

Passo 5

O terceiro quartil está na posição 0,75N =63. As frequências acumuladas até a classe [4,6) são 42 e depois 42+27=69, então Q_3 cai em [4,6). Aplicando
Q_3 = L + \frac{0{,}75N - F_{\text{ant}}}{f_{Q_3}}\,h
com L=4, F_{\text{ant}}=42, f_{Q_3}=27, h=2, obtemos
Q_3 = 4 + \frac{63-42}{27}\times2 =4 +\frac{21}{27}\times2 \approx 5,56.
Isto significa que 75\% dos alunos obtiveram nota até aproximadamente 5,56 e 25\% acima desse valor.

Resposta

Média \bar x \approx 4,12
Mediana \approx 4,00
Variância \sigma^2 \approx 4,50
Terceiro quartil Q_3 \approx 5,56 (interpretação: 75\% dos alunos têm nota \le5,56)

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