(9 pontos) Um dado honesto é lançado 5 vezes.
(a) ( 3 pontos) Qual é a probabilidade de que o número 1 saia pelo menos uma vez?
(b) ( 6 pontos) Qual é a probabilidade de que cada um dos números impares saiam pelo menos uma vez?

Passo 1

O enunciado diz que lançamos um dado honesto 5 vezes e pede duas probabilidades:
– (a) a probabilidade de sair pelo menos um “1”.
– (b) a probabilidade de sair ao menos uma vez cada face ímpar 1, 3 e 5.
Para (a) vamos usar o complemento; para (b) usaremos o princípio da inclusão–exclusão.

Passo 2

Para (a), a probabilidade de não sair 1 em um lançamento é \tfrac{5}{6}. Como os lançamentos são independentes, a probabilidade de não sair 1 em cinco lançamentos é
\Bigl(\tfrac{5}{6}\Bigr)^5.
Logo, a probabilidade de sair pelo menos um 1 é
1 - \Bigl(\tfrac{5}{6}\Bigr)^5.

Passo 3

Para (b), seja A_k o evento “a face k não aparece em nenhum dos 5 lançamentos”, com k\in\{1,3,5\}. Queremos
P(\text{sair 1, 3 e 5 pelo menos uma vez}) =1 - P\bigl(A_1\cup A_3\cup A_5\bigr).
Pelo princípio da inclusão–exclusão,
P(A_1\cup A_3\cup A_5) =\sum_k P(A_k) -\sum_{i<j}P(A_i\cap A_j) +P(A_1\cap A_3\cap A_5).

Passo 4

Calculamos cada termo:
P(A_k)=\Bigl(\tfrac{5}{6}\Bigr)^5 \quad(k=1,3,5),
pois excluímos uma face.
P(A_i\cap A_j)=\Bigl(\tfrac{4}{6}\Bigr)^5 \quad(i\neq j,\;i,j\in\{1,3,5\}),
pois excluímos duas faces.
P(A_1\cap A_3\cap A_5) =\Bigl(\tfrac{3}{6}\Bigr)^5,
pois excluímos três faces.

Passo 5

Substituindo na fórmula de inclusão–exclusão,
P(\text{sair cada odd}) =1 -3\Bigl(\tfrac{5}{6}\Bigr)^5 +3\Bigl(\tfrac{4}{6}\Bigr)^5 -\Bigl(\tfrac{3}{6}\Bigr)^5.

Resposta

(a) 1 - \bigl(\tfrac{5}{6}\bigr)^5.
(b) 1 - 3\bigl(\tfrac{5}{6}\bigr)^5 + 3\bigl(\tfrac{4}{6}\bigr)^5 - \bigl(\tfrac{3}{6}\bigr)^5.

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