A tabela abaixo mostra o número de meses em que houve aumento do nível de atividade de quinze empresas de tamanho pequeno (\mathrm{P}), médio (\mathrm{M}) e grande (\mathrm{G}), do setor comercial (C) e industrial (I). Obs.: Empresa não é uma variável aleatória, apenas um identificador de cada observação amostral.
Empresa 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
Meses 8 9 4 5 3 6 8 6 6 8 5 5 6 4 4
Setor C C I I I C C I I C C I C I I
Tamanho G M G M M P G M P M P P M M G
(a) Classifique cada uma das variáveis.
(b) Monte uma tabela de frequências bivariada para as variáveis Setor e Tamanho. Calcule a frequência relativa pelo total. Interprete.
(c) Refaça o item anterior calculando a frequência pelo total de linhas e interprete.
(d) Faça um gráfico adequado para representar a frequência em cada uma das variáveis.
(e) Divida as empresas em dois grupos: comércio (C) e indústria (I). Compare os grupos em relação à média e à mediana do número de meses com crescimento.
(f) Calcule o desvio padrão e o coeficiente de variação para os dois grupos. Qual dos grupos é mais homogêneo em relação ao número de meses com crescimento?
(g) O governo deseja dar um incentivo fiscal para 25 \% das empresas com menor crescimento (em meses). Qual é o número máximo de meses apresentando crescimento para que a empresa receba o incentivo fiscal? Que medida descritiva fornece essa informação?

Passo 1

O enunciado apresenta dados de 15 empresas com as variáveis:
– Número de meses com aumento de atividade (“Meses”),
– Setor de atuação (“Setor”: C ou I),
– Tamanho da empresa (“Tamanho”: P, M ou G).
Vamos classificar as variáveis, construir tabelas de frequência bivariadas, calcular frequências relativas, fazer gráficos univariados, comparar grupos C e I por média, mediana, desvio padrão e coeficiente de variação, e finalmente determinar o critério para o incentivo fiscal de 25 %.

Passo 2

Classificação das variáveis:
(a) “Empresa” é identificador nominal (não variável aleatória);
“Meses” é quantitativa discreta (razão);
“Setor” é qualitativa nominal;
“Tamanho” é qualitativa ordinal (P < M < G).

Passo 3

Tabela de frequência bivariada de “Setor” vs. “Tamanho” e frequência relativa pelo total (n =15):
\begin{array}{c|ccc|c} \text{Setor}\backslash\text{Tamanho} & P & M & G & \text{Total}\\hline C & 2 & 3 & 2 & 7\\\ I & 2 & 4 & 2 & 8\\hline \text{Total} & 4 & 7 & 4 & 15 \end{array}
A frequência relativa pelo total em cada célula é, por exemplo, \tfrac{2}{15}\approx0,1333 para (C,P), \tfrac{3}{15}=0,2000 para (C,M), etc.
Interpretação: p.ex., 13,33 % de todas as empresas são de comércio e pequeno porte.

Passo 4

Frequência relativa condicionada ao setor (dividida pelo total de linhas):
Para C (total 7): \tfrac{2}{7}\approx0,286 em P, \tfrac{3}{7}\approx0,429 em M, \tfrac{2}{7}\approx0,286 em G.
Para I (total 8): \tfrac{2}{8}=0,250 em P, \tfrac{4}{8}=0,500 em M, \tfrac{2}{8}=0,250 em G.
Interpretação: entre as indústrias, 50 % são de tamanho médio.

Passo 5

Gráficos univariados adequados:
– “Meses”: histograma ou gráfico de barras com classes discretas {3,4,5,…,9}.
– “Setor”: gráfico de barras ou setores mostrando 7 empresas em C e 8 em I.
– “Tamanho”: gráfico de barras ou setores mostrando 4 em P, 7 em M e 4 em G.

Passo 6

Dividindo em comércio (C) e indústria (I), com os valores de “Meses”:
C: {5,6,6,8,8,8,9}, I: {3,4,4,4,5,5,6,6}.
Para C:
\bar x_C=\frac{5+6+6+8+8+8+9}{7}=7{,}143,\quad \text{mediana}_C=8.
Para I:
\bar x_I=\frac{3+4+4+4+5+5+6+6}{8}=4{,}625,\quad \text{mediana}_I=\frac{4+5}{2}=4{,}5.
Conclusão: comércio apresenta maior média e maior mediana de meses de crescimento.

Passo 7

Cálculo do desvio padrão populacional e coeficiente de variação:
Para C:
s_C=\sqrt{\frac{\sum (x_i-\bar x_C)^2}{7}} =\sqrt{\frac{12{,}8571}{7}}\approx1{,}356,\quad CV_C=\frac{s_C}{\bar x_C}\approx0{,}190\;(19{,}0\%).
Para I:
s_I=\sqrt{\frac{\sum (x_i-\bar x_I)^2}{8}} =\sqrt{\frac{7{,}875}{8}}\approx0{,}992,\quad CV_I=\frac{s_I}{\bar x_I}\approx0{,}215\;(21{,}5\%).
O grupo de comércio é mais homogêneo (menor CV).

Passo 8

Para conceder incentivo a 25 % das empresas com menor número de meses, usamos o primeiro quartil Q_1.
Ordenando todos os 15 valores:
{3,4,4,4,5,5,5,6,6,6,6,8,8,8,9},
Q_1\text{ em }(n+1)/4=4\text{-ª posição}=4.ªçã
Logo, empresas com até 4 meses recebem o incentivo.

Resposta

(a) “Empresa”: identificador nominal;
“Meses”: quantitativa discreta (razão);
“Setor”: qualitativa nominal;
“Tamanho”: qualitativa ordinal.
(b) Tabela de frequência dada em Passo 3, frequência relativa pelo total \frac{\text{f}_{ij}}{15}. Interpretação: ex. 13,33 % são comércio-pequeno.
(c) Frequência relativa por linha em Passo 4; ex. 50 % das indústrias são de porte médio.
(d) Histograma para “Meses”; gráficos de barras ou setores para “Setor” e “Tamanho”.
(e) Comércio: \bar x_C=7,143, mediana =8; Indústria: \bar x_I=4,625, mediana =4,5.
(f) Comércio: s_C\approx1,356, CV_C\approx19{,}0\%;
Indústria: s_I\approx0,992, CV_I\approx21{,}5\%. Comércio é mais homogêneo.
(g) Número máximo de meses =4; medida descritiva = primeiro quartil Q_1.

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