No grupo
, encontre
para cada caso:
Você vê alguma relação entre
e
?
Passo 1
O enunciado pede para, no grupo
(grupo aditivo dos inteiros módulo
), calcular os ordens
,
e
quando:
Perguntas explícitas:
- Encontrar
. - Encontrar
. - Encontrar
(onde a soma é em ). - Verificar se há alguma relação entre
e .
Informações relevantes dadas:
- O grupo é
(elementos com adição módulo ). - Os elementos a serem usados são
e .
Passo 2
O que significa “ordem” de um elemento em um grupo aditivo: a ordem de um elemento
(notada
) é o menor inteiro positivo
tal que
no grupo. Em
isso quer dizer que
.
Uma fórmula muito prática em
é:
Vou explicar por que essa fórmula funciona. Seja
. Escrevendo
e
com
, temos
ou seja
Como
, isso é equivalente a
. O menor
com essa propriedade é
. Portanto
.
Vou usar essa fórmula para calcular as ordens de
,
e
. Também, quando for útil, mostro checagem direta somando repetidas vezes o elemento até obter
módulo
.
Passo 3
Calcular
com
.
Primeiro calcule
.
Aplicando a fórmula:
Checagem por somas:
Portanto o menor
com
é
. Logo
.
Passo 4
Calcular
com
.
Primeiro calcule
.
Aplicando a fórmula:
Checagem por somas:
O menor
é
. Logo
.
Passo 5
Calcular
.
Primeiro calcular a soma em
:
Agora calcule
.
Aplicando a fórmula:
Checagem por somas (parcial):
e nenhum inteiro positivo menor que
dá
. Então
.
Passo 6
Observação sobre relação entre
e
.
No caso aqui:
Note que
, que coincide com
neste exemplo.
Existe uma relação geral simples e útil: se
e
, então
Isto mostra que
divide
. Em palavras: o ordenado de
sempre divide o mínimo múltiplo comum das ordens de
e
. Portanto
pode ser igual a esse lcm (como no exemplo) ou pode ser um divisor próprio dele (ou seja, menor). Então não existe, em geral, uma fórmula de igualdade fixa; a relação que vale sempre é a de divisibilidade mencionada.