No grupo \mathbb{Z}_{12}, encontre |a|,|b|,|a+b| para cada caso:
Você vê alguma relação entre |a|,|b| e |a+b| ?
a=3, b=8

Passo 1

O enunciado pede para, no grupo \mathbb{Z}_{12} (grupo aditivo dos inteiros módulo 12), calcular os ordens |a|, |b| e |a+b| quando:
  • a=3
  • b=8
Perguntas explícitas:
  • Encontrar |a|.
  • Encontrar |b|.
  • Encontrar |a+b| (onde a soma é em \mathbb{Z}_{12}).
  • Verificar se há alguma relação entre |a|,|b| e |a+b|.
Informações relevantes dadas:
  • O grupo é \mathbb{Z}_{12} (elementos 0,1,2,\dots,11 com adição módulo 12).
  • Os elementos a serem usados são a=3 e b=8.

Passo 2

O que significa “ordem” de um elemento em um grupo aditivo: a ordem de um elemento x (notada |x|) é o menor inteiro positivo k tal que k\cdot x = 0 no grupo. Em \mathbb{Z}_{12} isso quer dizer que k x \equiv 0 \pmod{12}.
Uma fórmula muito prática em \mathbb{Z}_n é:
|x| = \frac{n}{\gcd(n,x)}.
Vou explicar por que essa fórmula funciona. Seja d=\gcd(n,x). Escrevendo n=d n' e x=d x' com \gcd(n',x')=1, temos
k x \equiv 0\pmod{n}\quad\Longleftrightarrow\quad n \mid kx
ou seja
d n' \mid k (d x') \quad\Longleftrightarrow\quad n' \mid k x'.
Como \gcd(n',x')=1, isso é equivalente a n' \mid k. O menor k>0 com essa propriedade é k=n'. Portanto |x|=n'=\dfrac{n}{d}=\dfrac{n}{\gcd(n,x)}.
Vou usar essa fórmula para calcular as ordens de a, b e a+b. Também, quando for útil, mostro checagem direta somando repetidas vezes o elemento até obter 0 módulo 12.

Passo 3

Calcular |a| com a=3.
Primeiro calcule \gcd(12,3).
\gcd(12,3)=3.
Aplicando a fórmula:
|a|=\frac{12}{\gcd(12,3)}=\frac{12}{3}=4.
Checagem por somas:
1\cdot 3 \equiv 3,\qquad 2\cdot3\equiv6,\qquad 3\cdot3\equiv9,\qquad 4\cdot3\equiv12\equiv0\pmod{12}.
Portanto o menor k com k\cdot3\equiv0 é 4. Logo |a|=4.

Passo 4

Calcular |b| com b=8.
Primeiro calcule \gcd(12,8).
\gcd(12,8)=4.
Aplicando a fórmula:
|b|=\frac{12}{\gcd(12,8)}=\frac{12}{4}=3.
Checagem por somas:
1\cdot 8\equiv8,\qquad 2\cdot8\equiv16\equiv4,\qquad 3\cdot8\equiv24\equiv0\pmod{12}.
O menor k é 3. Logo |b|=3.

Passo 5

Calcular |a+b|.
Primeiro calcular a soma em \mathbb{Z}_{12}:
a+b \equiv 3+8 \equiv 11 \pmod{12}.
Agora calcule \gcd(12,11).
\gcd(12,11)=1.
Aplicando a fórmula:
|a+b|=\frac{12}{\gcd(12,11)}=\frac{12}{1}=12.
Checagem por somas (parcial):
1\cdot11\equiv11,\;2\cdot11\equiv10,\;3\cdot11\equiv9,\;\dots,\;12\cdot11\equiv132\equiv0\pmod{12},
e nenhum inteiro positivo menor que 12 0. Então |a+b|=12.

Passo 6

Observação sobre relação entre |a|,|b| e |a+b|.
No caso aqui:
|a|=4,\qquad |b|=3,\qquad |a+b|=12.
Note que \operatorname{lcm}(|a|,|b|)=\operatorname{lcm}(4,3)=12, que coincide com |a+b| neste exemplo.
Existe uma relação geral simples e útil: se m=|a| e n=|b|, então
\operatorname{lcm}(m,n)\cdot (a+b)=\operatorname{lcm}(m,n)\,a+\operatorname{lcm}(m,n)\,b = 0+0=0.
Isto mostra que |a+b| divide \operatorname{lcm}(|a|,|b|). Em palavras: o ordenado de a+b sempre divide o mínimo múltiplo comum das ordens de a e b. Portanto |a+b| pode ser igual a esse lcm (como no exemplo) ou pode ser um divisor próprio dele (ou seja, menor). Então não existe, em geral, uma fórmula de igualdade fixa; a relação que vale sempre é a de divisibilidade mencionada.

Resposta

|a| = 4
|b| = 3
|a+b| = 12

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