Verifique se são subgrupos:
S=\{ matriz triangular superior de ordem n sem zeros na diagonal \} de G L_{n}(\mathbb{R}).

Passo 1

O enunciado nos dá o conjunto
S=\{\text{matrizes triangulares superiores de ordem }n\text{ com entradas diagonais não-nulas}\}ã
como um subconjunto de GL_n(\mathbb{R}). A pergunta é: verificar se S é um subgrupo de GL_n(\mathbb{R}).
Informações relevantes fornecidas:
  • Cada A\in S é uma matriz n\times n tal que a_{ij}=0 sempre que i>j (ou seja, é triangular superior).
  • Além disso, para cada A\in S todos os elementos da diagonal são não nulos: a_{ii}\neq0 para todo i=1,\dots,n.
  • Queremos verificar as propriedades de subgrupo (identidade, fechamento por produto e fechamento por inverso).

Passo 2

Primeiro, lembrar o que significa ser triangular superior: uma matriz A=(a_{ij}) é triangular superior se
a_{ij}=0\quad\text{sempre que }i>j.
Isso significa que todos os elementos abaixo da diagonal principal são zero; elementos na diagonal e acima dela podem ser quaisquer números reais (neste problema, na diagonal exigimos que sejam não nulos).

Passo 3

Verificar se a identidade está em S.
A matriz identidade I_n tem 1 na diagonal e 0 fora dela, logo é triangular superior e cada entrada diagonal vale 1\neq0. Portanto
I_n\in S.

Passo 4

Fechamento por produto: mostrar que se A,B\in S então AB\in S.
Sejam A=(a_{ij}) e B=(b_{ij}) triangulares superiores com a_{ii}\neq0 e b_{ii}\neq0 para todo i. O produto C=AB tem entradas
c_{ij}=\sum_{k=1}^{n} a_{ik}b_{kj}.
Para verificar que C é triangular superior, tome i>j. Em cada termo da soma, se k\le j< i então a_{ik}=0 (pois i>k); se k\ge i>j então b_{kj}=0 (pois k>j). Assim todos os termos da soma são zero, logo c_{ij}=0 quando i>j. Portanto C é triangular superior.
Agora olhemos a diagonal de C. Para i fixo,
c_{ii}=\sum_{k=1}^{n} a_{ik}b_{ki}.
Pelo mesmo raciocínio, para k\neq i um dos fatores a_{ik} ou b_{ki} é zero, então só resta o termo k=i. Assim
c_{ii}=a_{ii}b_{ii}.
Como a_{ii}\neq0 e b_{ii}\neq0, segue c_{ii}\neq0. Conclusão: AB é triangular superior e tem diagonais não-nulas, isto é AB\in S. Portanto S é fechado sob multiplicação.
(Dica concreta: para n=3 isso dá, por exemplo, na diagonal (AB)_{11}=a_{11}b_{11}, (AB)_{22}=a_{22}b_{22}, etc., mostrando a mesma ideia em números.)

Passo 5

Fechamento por inverso: mostrar que se A\in S então A^{-1}\in S.
Como A\in S tem todas as entradas diagonais não nulas, a determinante de A é não nula (determinante de uma matriz triangular é o produto das entradas da diagonal). Vou explicar isso brevemente:
Propriedade útil: se T é triangular (superior ou inferior) então
\det(T)=\prod_{i=1}^{n} t_{ii}.
Uma justificativa por indução: expandindo o determinante por Laplace pela primeira coluna nota-se que só o elemento t_{11} pode contribuir, reduzindo ao determinante da submatriz triangular de ordem n-1; repetindo obtém-se o produto dos elementos diagonais.
Então, para A\in S tem-se \det(A)=\prod_{i=1}^n a_{ii}\neq0, logo A é invertível (está coerente com A\in GL_n(\mathbb{R})).
Para mostrar que A^{-1} é triangular superior, considere a equação matricial
A X = I_n,
onde X=A^{-1}. Resolver essa equação coluna a coluna é um processo de retro-substituição (back-substitution) porque A é triangular superior. Fixe uma coluna j e escreva as equações linha a linha:
a_{11}x_{1j}+a_{12}x_{2j}+\cdots+a_{1n}x_{nj}=\delta_{1j},
a_{22}x_{2j}+a_{23}x_{3j}+\cdots+a_{2n}x_{nj}=\delta_{2j},
\vdots
a_{nn}x_{nj}=\delta_{nj}.
Começando pela última equação encontra-se
x_{nj}=\frac{\delta_{nj}}{a_{nn}}.
Se n>j então \delta_{nj}=0 e assim x_{nj}=0. Subindo por indução (resolvendo para x_{i j} em função dos já conhecidos x_{k j} com k>i) vê-se que, sempre que i>j, tem-se x_{ij}=0. Ou seja, todas as entradas abaixo da diagonal de X são zero: X é triangular superior. Para a diagonal, da equação a_{ii}x_{ii}=1 segue x_{ii}=1/a_{ii}\neq0. Portanto A^{-1} é triangular superior com diagonais não-nulas, ou seja A^{-1}\in S.

Passo 6

Resumo das verificações:
  • I_n\in S.
  • Se A,B\in S então AB\in S.
  • Se A\in S então A^{-1}\in S.
Essas três propriedades são exatamente as necessárias para S ser um subgrupo de GL_n(\mathbb{R}).

Resposta

S é um subgrupo de GL_n(\mathbb{R}).

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