Verifique se são subgrupos:
matriz triangular superior de ordem n sem zeros na diagonal
de
.
Passo 1
O enunciado nos dá o conjunto
como um subconjunto de
. A pergunta é: verificar se
é um subgrupo de
.
Informações relevantes fornecidas:
- Cada
é uma matriz tal que sempre que (ou seja, é triangular superior). - Além disso, para cada
todos os elementos da diagonal são não nulos: para todo . - Queremos verificar as propriedades de subgrupo (identidade, fechamento por produto e fechamento por inverso).
Passo 2
Primeiro, lembrar o que significa ser triangular superior: uma matriz
é triangular superior se
Isso significa que todos os elementos abaixo da diagonal principal são zero; elementos na diagonal e acima dela podem ser quaisquer números reais (neste problema, na diagonal exigimos que sejam não nulos).
Passo 3
Verificar se a identidade está em
.
A matriz identidade
tem
na diagonal e
fora dela, logo é triangular superior e cada entrada diagonal vale
. Portanto
Passo 4
Fechamento por produto: mostrar que se
então
.
Sejam
e
triangulares superiores com
e
para todo
. O produto
tem entradas
Para verificar que
é triangular superior, tome
. Em cada termo da soma, se
então
(pois
); se
então
(pois
). Assim todos os termos da soma são zero, logo
quando
. Portanto
é triangular superior.
Agora olhemos a diagonal de
. Para
fixo,
Pelo mesmo raciocínio, para
um dos fatores
ou
é zero, então só resta o termo
. Assim
Como
e
, segue
. Conclusão:
é triangular superior e tem diagonais não-nulas, isto é
. Portanto
é fechado sob multiplicação.
(Dica concreta: para
isso dá, por exemplo, na diagonal
,
, etc., mostrando a mesma ideia em números.)
Passo 5
Fechamento por inverso: mostrar que se
então
.
Como
tem todas as entradas diagonais não nulas, a determinante de
é não nula (determinante de uma matriz triangular é o produto das entradas da diagonal). Vou explicar isso brevemente:
Propriedade útil: se
é triangular (superior ou inferior) então
Uma justificativa por indução: expandindo o determinante por Laplace pela primeira coluna nota-se que só o elemento
pode contribuir, reduzindo ao determinante da submatriz triangular de ordem
; repetindo obtém-se o produto dos elementos diagonais.
Então, para
tem-se
, logo
é invertível (está coerente com
).
Para mostrar que
é triangular superior, considere a equação matricial
onde
. Resolver essa equação coluna a coluna é um processo de retro-substituição (back-substitution) porque
é triangular superior. Fixe uma coluna
e escreva as equações linha a linha:
Começando pela última equação encontra-se
Se
então
e assim
. Subindo por indução (resolvendo para
em função dos já conhecidos
com
) vê-se que, sempre que
, tem-se
. Ou seja, todas as entradas abaixo da diagonal de
são zero:
é triangular superior. Para a diagonal, da equação
segue
. Portanto
é triangular superior com diagonais não-nulas, ou seja
.
Passo 6
Resumo das verificações:
-
. - Se
então . - Se
então .
Essas três propriedades são exatamente as necessárias para
ser um subgrupo de
.