No grupo
, encontre
para cada caso:
Você vê alguma relação entre
e
?
Passo 1
O enunciado pede que se encontre os ordens dos elementos
,
e
no grupo
. As informações dadas são:
- O grupo é
(adição módulo ). -
. -
. - É preciso calcular
, e .
Não há outras informações.
Passo 2
O que significa a ordem de um elemento em
(explicação passo a passo, do jeitinho que dá pra usar na prova).
- Definição: a ordem de um elemento
em um grupo finito é o menor inteiro positivo tal que vezes (na notação aditiva: somar consigo mesmo vezes) seja o elemento neutro. No nosso caso o neutro é (módulo ). Em símbolos: é o menor tal que . - Em
existe uma fórmula prática: para o elemento representado por em ,
Vou explicar por que isso vale: queremos o menor
com
, isto é,
divide
. Seja
. Escrevendo
e
com
, a condição vira
, ou seja
. Como
, isso é equivalente a
. O menor
com
é
. Portanto
. Essa fórmula é super útil na prova porque evita ficar somando muitas vezes.
Passo 3
Aplicando a fórmula a
em
.
- Calcular
. Como divide , tem-se . - Usando a fórmula:
- Verificação direta (pra ficar tranquilo):
, e . Logo o menor é . Portanto .
Passo 4
Aplicando a fórmula a
em
.
- Calcular
. - Usando a fórmula:
- Verificação direta: somando
seis vezes temos , e nenhum satisfaz isso (por exemplo, ). Logo .
Passo 5
Calcular
em
e aplicar a fórmula.
- Primeiro
módulo :
- Calcular
. Tem-se . - Usando a fórmula:
- Verificação direta:
, , . Portanto .
Passo 6
Comentário sobre possível relação entre
,
e
(explicação didática curta e útil para a prova).
- Neste exemplo obtivemos
, e . - Observação geral (válida em grupos abelianos, como
): se e , então divide . A razão é simples: , logo a ordem de é um divisor de . - No nosso caso
e realmente divide . Mas atenção: não existe uma fórmula mais simples que diga que é, por exemplo, ou em geral — pode ser qualquer divisor de dependendo dos elementos.