No grupo \mathbb{Z}_{12}, encontre |a|,|b|,|a+b| para cada caso:
Você vê alguma relação entre |a|,|b| e |a+b| ?
a=6, b=2

Passo 1

O enunciado pede que se encontre os ordens dos elementos a, b e a+b no grupo \mathbb{Z}_{12}. As informações dadas são:
  • O grupo é \mathbb{Z}_{12} (adição módulo 12).
  • a=6.
  • b=2.
  • É preciso calcular |a|, |b| e |a+b|.
    Não há outras informações.

Passo 2

O que significa a ordem de um elemento em \mathbb{Z}_{12} (explicação passo a passo, do jeitinho que dá pra usar na prova).
  • Definição: a ordem de um elemento x em um grupo finito é o menor inteiro positivo m tal que m vezes x (na notação aditiva: somar x consigo mesmo m vezes) seja o elemento neutro. No nosso caso o neutro é 0 (módulo 12). Em símbolos: |x| é o menor m>0 tal que m x \equiv 0 \pmod{12}.
  • Em \mathbb{Z}_{n} existe uma fórmula prática: para o elemento representado por k em \mathbb{Z}_{n},
|k|=\frac{n}{\gcd(n,k)}.
Vou explicar por que isso vale: queremos o menor m>0 com m k \equiv 0\pmod{n}, isto é, n divide m k. Seja d=\gcd(n,k). Escrevendo n=d n' e k=d k' com \gcd(n',k')=1, a condição vira d n'\mid m d k', ou seja n'\mid m k'. Como \gcd(n',k')=1, isso é equivalente a n'\mid m. O menor m>0 com n'\mid m é m=n'. Portanto m=n'=\dfrac{n}{d}=\dfrac{n}{\gcd(n,k)}. Essa fórmula é super útil na prova porque evita ficar somando muitas vezes.

Passo 3

Aplicando a fórmula a a=6 em \mathbb{Z}_{12}.
  • Calcular \gcd(12,6). Como 6 divide 12, tem-se \gcd(12,6)=6.
  • Usando a fórmula:
|a|=\frac{12}{\gcd(12,6)}=\frac{12}{6}=2.
  • Verificação direta (pra ficar tranquilo): 1\cdot 6 \equiv 6\pmod{12}\neq 0, e 2\cdot 6 \equiv 12\equiv 0\pmod{12}. Logo o menor m é 2. Portanto |a|=2.

Passo 4

Aplicando a fórmula a b=2 em \mathbb{Z}_{12}.
  • Calcular \gcd(12,2)=2.
  • Usando a fórmula:
|b|=\frac{12}{\gcd(12,2)}=\frac{12}{2}=6.
  • Verificação direta: somando 2 seis vezes temos 6\cdot 2=12\equiv 0\pmod{12}, e nenhum m<6 satisfaz isso (por exemplo, 3\cdot2=6\neq0). Logo |b|=6.

Passo 5

Calcular a+b em \mathbb{Z}_{12} e aplicar a fórmula.
  • Primeiro a+b módulo 12:
a+b=6+2=8\quad(\text{em }\mathbb{Z}_{12} \text{ representado por }8).
  • Calcular \gcd(12,8). Tem-se \gcd(12,8)=4.
  • Usando a fórmula:
|a+b|=\frac{12}{\gcd(12,8)}=\frac{12}{4}=3.
  • Verificação direta: 1\cdot 8\equiv 8\neq0, 2\cdot 8\equiv 16\equiv 4\neq0, 3\cdot 8\equiv 24\equiv 0\pmod{12}. Portanto |a+b|=3.

Passo 6

Comentário sobre possível relação entre |a|, |b| e |a+b| (explicação didática curta e útil para a prova).
  • Neste exemplo obtivemos |a|=2, |b|=6 e |a+b|=3.
  • Observação geral (válida em grupos abelianos, como \mathbb{Z}_{12}): se |a|=m e |b|=n, então |a+b| divide \operatorname{lcm}(m,n). A razão é simples: \operatorname{lcm}(m,n)\,(a+b)=\operatorname{lcm}(m,n)\,a+\operatorname{lcm}(m,n)\,b=0+0=0, logo a ordem de a+b é um divisor de \operatorname{lcm}(m,n).
  • No nosso caso \operatorname{lcm}(2,6)=6 e realmente |a+b|=3 divide 6. Mas atenção: não existe uma fórmula mais simples que diga que |a+b| é, por exemplo, \gcd(|a|,|b|) ou \operatorname{lcm}(|a|,|b|) em geral — |a+b| pode ser qualquer divisor de \operatorname{lcm}(|a|,|b|) dependendo dos elementos.

Resposta

|a|=2
|b|=6
|a+b|=3

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