Seja G=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2}: x \neq 0\right\} com a operação (x, y) *\left(x^{\prime}, y^{\prime}\right)=\left(x x^{\prime}, x^{\prime} y+y^{\prime}\right). Mostre que (G, *) é um grupo não abeliano. O que acontece se \mathbb{R} é susbtituído por \mathbb{Q} ou \mathbb{Z}^{+}?

Passo 1

O enunciado dá o conjunto e a operação:
  • Conjunto G=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 : x\neq 0\}.
  • Operação (x,y)*\left(x',y'\right)=\left(x x',\,x' y + y'\right).
O que se pede:
  1. Mostrar que \bigl(G,*\bigr) é um grupo (ou seja, verificar fechamento, associatividade, elemento neutro e inversos).
  2. Mostrar que o grupo não é abeliano (isto é, a*b pode ser diferente de b*a).
  3. Dizer o que muda se \mathbb{R} for substituído por \mathbb{Q} ou por \mathbb{Z}^+.

Passo 2

Fechamento: verificar que o produto de dois elementos de G pertence a G.
Se (x,y),(x',y')\in G então x\neq 0 e x'\neq 0. Pela definição,
(x,y)*(x',y')=(x x',\,x' y + y').
Como x x'\neq 0 (produto de não nulos) e x' y + y'\in\mathbb{R}, o par (x x',\,x' y + y') pertence a G. Logo, a operação é fechada em G.

Passo 3

Associatividade: mostrar que para quaisquer (x,y),(x',y'),(x'',y'')\in G vale
\bigl((x,y)*(x',y')\bigr)*(x'',y'')=(x,y)*\bigl((x',y')*(x'',y'')\bigr).
Calcule o lado esquerdo:
(x,y)*(x',y')=(x x',\,x' y + y'),
\bigl((x,y)*(x',y')\bigr)*(x'',y'')=\bigl(x x' x'',\,x''(x' y + y') + y''\bigr).
Simplificando o segundo componente:
x''(x' y + y') + y'' = x''x' y + x'' y' + y''.
Calcule o lado direito:
(x',y')*(x'',y'')=(x' x'',\,x'' y' + y''),
(x,y)*\bigl((x',y')*(x'',y'')\bigr)=\bigl(x x' x'',\; (x' x'')y + (x'' y' + y'')\bigr).
Simplificando:
(x' x'')y + x'' y' + y'' = x' x'' y + x'' y' + y''.
Como a multiplicação real é associativa e comutativa, os dois lados coincidem:
x''x' y + x'' y' + y'' = x' x'' y + x'' y' + y''.
Portanto a operação é associativa.

Passo 4

Elemento neutro: procurar e=(e_1,e_2)\in G tal que, para todo (x,y)\in G,
(x,y)*e=(x,y)\quad\text{e}\quad e*(x,y)=(x,y).
Usando a definição:
(x,y)*(e_1,e_2)=(x e_1,\,e_1 y + e_2)=(x,y).
Comparando coordenadas obtemos x e_1 = x para todo x\neq 0, logo e_1=1. Da segunda coordenada, e_1 y + e_2 = y para todo y, com e_1=1 y + e_2 = y, logo e_2=0.
Verificação direita:
(1,0)*(x,y)=(1\cdot x,\,x\cdot 0 + y)=(x,y).
Portanto o elemento neutro é (1,0) e pertence a G (pois 1\neq 0).

Passo 5

Inversos: dado (x,y)\in G procurar (u,v)\in G tal que
(x,y)*(u,v)=(1,0)\quad\text{e}\quad (u,v)*(x,y)=(1,0).
Escrevendo as equações:
(xu,\,u y + v)=(1,0).
Da primeira coordenada xu=1, então u=\dfrac{1}{x}. Substituindo na segunda,
\frac{1}{x}y + v = 0 \quad\Rightarrow\quad v = -\frac{y}{x}.
Logo a candidata inversa é \left(\dfrac{1}{x},\,-\dfrac{y}{x}\right). Verificar o produto na outra ordem:
\left(\frac{1}{x},-\frac{y}{x}\right)*(x,y)=\Bigl(\frac{1}{x}x,\;x\bigl(-\frac{y}{x}\bigr)+y\Bigr)=(1, -y + y)=(1,0).
Portanto \left(\dfrac{1}{x},-\dfrac{y}{x}\right) é de fato o inverso de (x,y) e pertence a G (porque 1/x\neq 0). Assim todo elemento tem inverso em G.

Passo 6

Conclusão parcial: já mostramos fechamento, associatividade, existência de neutro e existência de inversos: então \bigl(G,*\bigr) é um grupo.

Passo 7

Não comutatividade (grupo não abeliano): apresentar um contraexemplo explícito com dois elementos de G.
Escolha (x,y)=(2,0) e (x',y')=(3,1). Calcule
(2,0)*(3,1)=(2\cdot3,\;3\cdot 0 + 1)=(6,1),
(3,1)*(2,0)=(3\cdot2,\;2\cdot 1 + 0)=(6,2).
Como (6,1)\neq(6,2), tem-se (2,0)*(3,1)\neq(3,1)*(2,0). Logo o grupo não é abeliano.

Passo 8

Interpretação estrutural curta (intuição): a lei (x,y)*(x',y')=(x x',\,x' y + y') é a lei do produto semidireto \mathbb{R}^\times\ltimes\mathbb{R} onde o grupo multiplicativo \mathbb{R}^\times atua em \mathbb{R} por multiplicação escalar; isto ajuda a entender por que a primeira coordenada multiplica e por que a operação não é simétrica nas segundas coordenadas.

Passo 9

O que muda se substituirmos \mathbb{R} por \mathbb{Q} ou por \mathbb{Z}^+?
  • Substituindo por \mathbb{Q}: tomar
    G_{\mathbb{Q}}=\{(x,y)\in\mathbb{Q}^2 : x\neq 0\}.
    As mesmas fórmulas usam apenas soma e produto em \mathbb{Q}. O produto de dois racionais é racional e 1/x e -y/x são racionais quando x,y\in\mathbb{Q} e x\neq 0. Portanto todas as etapas anteriores valem com \mathbb{Q} no lugar de \mathbb{R}: \bigl(G_{\mathbb{Q}},*\bigr) é um grupo e continua não abeliano.
  • Substituindo por \mathbb{Z}^+ (conjunto dos inteiros positivos): tomar
    G_{\mathbb{Z}^+}=\{(x,y)\in(\mathbb{Z}^+)^2 : x\neq 0\}.
    Aqui há dois problemas essenciais:
    1. O elemento neutro deveria ser (1,0), mas 0\notin\mathbb{Z}^+, logo (1,0)\notin G_{\mathbb{Z}^+}. Sem elemento neutro não há grupo.
    2. Mesmo se permitíssemos y ser 0 (isto é, considerássemos \mathbb{Z} em vez de \mathbb{Z}^+), o inverso de (x,y) é \left(1/x,\,-y/x\right), que raramente é par de inteiros: 1/x não é inteiro salvo quando x=\pm 1. Portanto não há inversos em geral. Assim, com \mathbb{Z}^+ (ou mesmo \mathbb{Z}) a estrutura deixa de ser um grupo.

Resposta

\bigl(G,*\bigr) é um grupo não abeliano (neutro (1,0), inverso de (x,y) é \left(\dfrac{1}{x},-\dfrac{y}{x}\right)).
Se \mathbb{R} for substituído por \mathbb{Q}, a construção continua sendo um grupo não abeliano.
Se for substituído por \mathbb{Z}^+ (ou por \mathbb{Z}), não se obtém um grupo (falta o neutro em \mathbb{Z}^+ e, em \mathbb{Z}, inversos gerais não pertencem ao conjunto).

Exercícios relacionados