Seja
com a operação
. Mostre que
é um grupo não abeliano. O que acontece se
é susbtituído por
ou
?
Passo 1
O enunciado dá o conjunto e a operação:
- Conjunto
. - Operação
.
O que se pede:
- Mostrar que
é um grupo (ou seja, verificar fechamento, associatividade, elemento neutro e inversos). - Mostrar que o grupo não é abeliano (isto é,
pode ser diferente de ). - Dizer o que muda se
for substituído por ou por .
Passo 2
Fechamento: verificar que o produto de dois elementos de
pertence a
.
Se
então
e
. Pela definição,
Como
(produto de não nulos) e
, o par
pertence a
. Logo, a operação é fechada em
.
Passo 3
Associatividade: mostrar que para quaisquer
vale
Calcule o lado esquerdo:
Simplificando o segundo componente:
Calcule o lado direito:
Simplificando:
Como a multiplicação real é associativa e comutativa, os dois lados coincidem:
Portanto a operação é associativa.
Passo 4
Elemento neutro: procurar
tal que, para todo
,
Usando a definição:
Comparando coordenadas obtemos
para todo
, logo
. Da segunda coordenada,
para todo
, com
dá
, logo
.
Verificação direita:
Portanto o elemento neutro é
e pertence a
(pois
).
Passo 5
Inversos: dado
procurar
tal que
Escrevendo as equações:
Da primeira coordenada
, então
. Substituindo na segunda,
Logo a candidata inversa é
. Verificar o produto na outra ordem:
Portanto
é de fato o inverso de
e pertence a
(porque
). Assim todo elemento tem inverso em
.
Passo 6
Conclusão parcial: já mostramos fechamento, associatividade, existência de neutro e existência de inversos: então
é um grupo.
Passo 7
Não comutatividade (grupo não abeliano): apresentar um contraexemplo explícito com dois elementos de
.
Escolha
e
. Calcule
Como
, tem-se
. Logo o grupo não é abeliano.
Passo 8
Interpretação estrutural curta (intuição): a lei
é a lei do produto semidireto
onde o grupo multiplicativo
atua em
por multiplicação escalar; isto ajuda a entender por que a primeira coordenada multiplica e por que a operação não é simétrica nas segundas coordenadas.
Passo 9
O que muda se substituirmos
por
ou por
?
-
Substituindo por
: tomar As mesmas fórmulas usam apenas soma e produto em. O produto de dois racionais é racional e e são racionais quando e . Portanto todas as etapas anteriores valem com no lugar de : é um grupo e continua não abeliano. -
Substituindo por
(conjunto dos inteiros positivos): tomar Aqui há dois problemas essenciais:- O elemento neutro deveria ser
, mas , logo . Sem elemento neutro não há grupo. - Mesmo se permitíssemos
ser (isto é, considerássemos em vez de ), o inverso de é , que raramente é par de inteiros: não é inteiro salvo quando . Portanto não há inversos em geral. Assim, com (ou mesmo ) a estrutura deixa de ser um grupo.
- O elemento neutro deveria ser
Resposta
Se
Se for substituído por