Seja
com a operação de multiplicação dos números reais. Mostre que (
) é um grupo abeliano.
Passo 1
O enunciado dá o conjunto
onde
significa os números racionais não nulos. A operação é a multiplicação usual dos reais. O que o enunciado pede: mostrar que
é um grupo abeliano. Ou seja, preciso verificar as propriedades de grupo (fechamento, associatividade, existência de elemento neutro, existência de inversos) e, além disso, que a operação é comutativa.
Passo 2
Propriedade: fechamento.
Tomemos . Isso significa que
e
. Quero mostrar que
, isto é,
.
Tomemos
Cálculo:
Como
e
, e os racionais não nulos são fechados sob multiplicação, então
. Logo
, o que mostra
. Assim,
é fechado sob multiplicação.
Exemplo concreto para intuir: se
e
então
,
(ambos em
), e
, então
.
Passo 3
Propriedade: associatividade.
A associatividade da multiplicação é uma propriedade da estrutura dos números reais: para quaisquer vale
. Como
, para quaisquer
também vale
. Portanto a operação é associativa em
.
A associatividade da multiplicação é uma propriedade da estrutura dos números reais: para quaisquer
Aqui só se usa que
está dentro de
e a multiplicação em
já é associativa.
Passo 4
Propriedade: elemento neutro.
O elemento neutro multiplicativo em é
. Verifico que
porque
O elemento neutro multiplicativo em
Além disso, para todo
tem-se
. Logo
é o elemento neutro de
.
Passo 5
Propriedade: existência de inversos.
Se então
. Como
não contém zero,
, portanto
e
tem inverso multiplicativo
em
. Preciso verificar que
, isto é,
.
Se
Cálculo:
Como
e o inverso multiplicativo de um racional não nulo é outro racional não nulo, segue
. Portanto
e
. Assim todo elemento de
tem inverso em
.
Exemplo: se
então
e
.
Passo 6
Propriedade: comutatividade (grupo abeliano).
A multiplicação em é comutativa: para quaisquer
vale
. Como
, para quaisquer
também vale
. Portanto o grupo
é abeliano.
A multiplicação em
Passo 7
Observações finais e exemplos para intuição.
- O conjunto
é não vazio: por exemplo . - Todo racional não nulo
pertence a porque . - Também pertencem a
números irracionais como sempre que e . Isso mostra que contém muitos elementos, não é só .
Juntando os passos:
é fechado, a operação é associativa, existe neutro em
, todo elemento tem inverso em
e a operação é comutativa. Logo
é um grupo abeliano.