Seja G=\left\{x \in \mathbb{R}: x^{2} \in \mathbb{Q}^{*}\right\} com a operação de multiplicação dos números reais. Mostre que ( G, \cdot ) é um grupo abeliano.

Passo 1

O enunciado dá o conjunto
G=\{x\in\mathbb{R}: x^{2}\in\mathbb{Q}^{*}\},
onde \mathbb{Q}^{*} significa os números racionais não nulos. A operação é a multiplicação usual dos reais. O que o enunciado pede: mostrar que (G,\cdot) é um grupo abeliano. Ou seja, preciso verificar as propriedades de grupo (fechamento, associatividade, existência de elemento neutro, existência de inversos) e, além disso, que a operação é comutativa.

Passo 2

Propriedade: fechamento.
Tomemos x,y\in G. Isso significa que x^{2}\in\mathbb{Q}^{*} e y^{2}\in\mathbb{Q}^{*}. Quero mostrar que xy\in G, isto é, (xy)^{2}\in\mathbb{Q}^{*}.
Cálculo:
(xy)^{2}=x^{2}y^{2}.
Como x^{2}\in\mathbb{Q}^{*} e y^{2}\in\mathbb{Q}^{*}, e os racionais não nulos são fechados sob multiplicação, então x^{2}y^{2}\in\mathbb{Q}^{*}. Logo (xy)^{2}\in\mathbb{Q}^{*}, o que mostra xy\in G. Assim, G é fechado sob multiplicação.
Exemplo concreto para intuir: se x=\sqrt{2} e y=\sqrt{3} então x^{2}=2, y^{2}=3 (ambos em \mathbb{Q}^{*}), e (xy)^{2}=6\in\mathbb{Q}^{*}, então xy=\sqrt{6}\in G.

Passo 3

Propriedade: associatividade.
A associatividade da multiplicação é uma propriedade da estrutura dos números reais: para quaisquer x,y,z\in\mathbb{R} vale (xy)z=x(yz). Como G\subset\mathbb{R}, para quaisquer x,y,z\in G também vale (xy)z=x(yz). Portanto a operação é associativa em G.
Aqui só se usa que G está dentro de \mathbb{R} e a multiplicação em \mathbb{R} já é associativa.

Passo 4

Propriedade: elemento neutro.
O elemento neutro multiplicativo em \mathbb{R} é 1. Verifico que 1\in G porque
1^{2}=1\in\mathbb{Q}^{*}.
Além disso, para todo x\in G tem-se 1\cdot x=x. Logo 1 é o elemento neutro de (G,\cdot).

Passo 5

Propriedade: existência de inversos.
Se x\in G então x^{2}\in\mathbb{Q}^{*}. Como \mathbb{Q}^{*} não contém zero, x^{2}\neq0, portanto x\neq0 e x tem inverso multiplicativo x^{-1}=1/x em \mathbb{R}. Preciso verificar que x^{-1}\in G, isto é, (x^{-1})^{2}\in\mathbb{Q}^{*}.
Cálculo:
(x^{-1})^{2}=\frac{1}{x^{2}}.
Como x^{2}\in\mathbb{Q}^{*} e o inverso multiplicativo de um racional não nulo é outro racional não nulo, segue \dfrac{1}{x^{2}}\in\mathbb{Q}^{*}. Portanto (x^{-1})^{2}\in\mathbb{Q}^{*} e x^{-1}\in G. Assim todo elemento de G tem inverso em G.
Exemplo: se x=\sqrt{2} então x^{-1}=1/\sqrt{2} e (1/\sqrt{2})^{2}=1/2\in\mathbb{Q}^{*}.

Passo 6

Propriedade: comutatividade (grupo abeliano).
A multiplicação em \mathbb{R} é comutativa: para quaisquer x,y\in\mathbb{R} vale xy=yx. Como G\subset\mathbb{R}, para quaisquer x,y\in G também vale xy=yx. Portanto o grupo (G,\cdot) é abeliano.

Passo 7

Observações finais e exemplos para intuição.
  • O conjunto G é não vazio: por exemplo 1\in G.
  • Todo racional não nulo q\in\mathbb{Q}^{*} pertence a G porque q^{2}\in\mathbb{Q}^{*}.
  • Também pertencem a G números irracionais como \pm\sqrt{r} sempre que r\in\mathbb{Q}^{*} e r>0. Isso mostra que G contém muitos elementos, não é só \mathbb{Q}^{*}.
Juntando os passos: G é fechado, a operação é associativa, existe neutro em G, todo elemento tem inverso em G e a operação é comutativa. Logo (G,\cdot) é um grupo abeliano.

Resposta

(G,\cdot) é um grupo abeliano.

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