Um grupo de oito pessoas está indo ao cinema e todos vão sentar na mesma fila. Duas dessas pessoas não querem sentar uma ao lado da outra. Quantas formas diferentes as oito pessoas podem ser dispostas na fila?
Passo 1
Beleza, o enunciado diz o seguinte: temos 8 pessoas sentando numa fila, mas duas delas não querem ficar coladas uma na outra. A gente precisa contar de quantas maneiras podemos sentar todo mundo respeitando esse “não próximo”.
Conteúdo: permutações com restrão (combinatória básica). Vamos usar fatoriais e o princípio da contagem complementar.
Conteúdo: permutações com restrão (combinatória básica). Vamos usar fatoriais e o princípio da contagem complementar.
Passo 2
Primeiro, vê quantas formas a gente teria se não existisse restrição nenhuma: é só permutar 8 pessoas em 8 lugares, ou seja
Isso é o total sem proibir ninguém de ficar ao lado de ninguém.
Passo 3
Agora conta quantas dessas têm as duas pessoas proibidas sentadas lado a lado (o caso “ruim”). A sacada é tratar esse par como um único “bloco”. Assim, em vez de 8 pessoas, temos 7 “itens” (o bloco + as outras 6 pessoas).
– Permutações desses 7 itens:
– Permutações desses 7 itens:
– Dentro do bloco, as duas pessoas podem inverter a ordem entre si, o que dá
= 2.
Então o total de casos “ruins” é
Então o total de casos “ruins” é
Passo 4
Pra achar só os arranjos válidos (sem as duas juntas), usamos contagem complementar:
Resposta
O número de disposições possíveis em que as duas pessoas não ficam lado a lado é 30240.