Um grupo de oito pessoas está indo ao cinema e todos vão sentar na mesma fila. Duas dessas pessoas não querem sentar uma ao lado da outra. Quantas formas diferentes as oito pessoas podem ser dispostas na fila?

Passo 1

Beleza, o enunciado diz o seguinte: temos 8 pessoas sentando numa fila, mas duas delas não querem ficar coladas uma na outra. A gente precisa contar de quantas maneiras podemos sentar todo mundo respeitando esse “não próximo”.
Conteúdo: permutações com restrão (combinatória básica). Vamos usar fatoriais e o princípio da contagem complementar.

Passo 2

Primeiro, vê quantas formas a gente teria se não existisse restrição nenhuma: é só permutar 8 pessoas em 8 lugares, ou seja
8! = 8times7times6times5times4times3times2times1 = 40320
Isso é o total sem proibir ninguém de ficar ao lado de ninguém.

Passo 3

Agora conta quantas dessas têm as duas pessoas proibidas sentadas lado a lado (o caso “ruim”). A sacada é tratar esse par como um único “bloco”. Assim, em vez de 8 pessoas, temos 7 “itens” (o bloco + as outras 6 pessoas).
– Permutações desses 7 itens:
7! = 5040
– Dentro do bloco, as duas pessoas podem inverter a ordem entre si, o que dá 7! times 2! = 5040 times 2 = 10080 = 2.
Então o total de casos “ruins” é

Passo 4

Pra achar só os arranjos válidos (sem as duas juntas), usamos contagem complementar:
válidos = 8! - (7!times2!) = 40320 - 10080 = 30240 á

Resposta

O número de disposições possíveis em que as duas pessoas não ficam lado a lado é 30240.

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