Em ASGARD, as placas de licença de automóveis são formadas por 3 vogais, seguidas de 4 algarismos distintos. Pergunta-se:
Quantas dessas placas têm os algarismos formando um múltiplo de 5 ?
Quantas dessas placas têm os algarismos formando um múltiplo de 5 ?
Passo 1
Beleza, o enunciado diz: em Asgard as placas são formadas por 3 vogais (A, E, I, O, U) seguidas de 4 dígitos todos distintos (0–9). Queremos contar quantas dessas placas têm os 4 dígitos formando um múltiplo de 5.
Conteúdo: combinatória básica (princípio multiplicativo, permutações) e regra do múltiplo de 5 (último dígito 0 ou 5).
Conteúdo: combinatória básica (princípio multiplicativo, permutações) e regra do múltiplo de 5 (último dígito 0 ou 5).
Passo 2
Primeiro vamos contar de quantas formas dá pra escolher as 3 vogais. Como elas podem repetir, pra cada posição temos 5 opções e usam-se as potências:
então são 125 jeitos de escolher a parte das vogais.
Passo 3
Agora, os 4 dígitos distintos que formem múltiplo de 5. A regra é simples: um número é múltiplo de 5 se terminar em 0 ou 5.
- Escolhemos o último dígito: 2 opções (0 ou 5).
- Agora restam 9 dígitos (dos 10 originais menos o que já usamos). Precisamos escolher 3 dígitos distintos para as primeiras 3 posições e ordenar esses 3. Isso é uma permutação de 9 elementos tomados 3 a 3:
3) Pelo princípio multiplicativo, para a parte dos dígitos:
jeitos de ter um 4-dígitos distinto que termine em 0 ou 5.
Passo 4
Finalmente, combinamos as escolhas de vogais com as escolhas de dígitos, de novo pelo princípio multiplicativo:
Resposta
O total de placas cujo bloco de dígitos forma um múltiplo de 5 é 126000.