Num grupo de pacientes num consultório de nutricionista mediram-se os perímetros torácicos de 100 pacientes, tendo-se agrupado na seguinte tabela de frequências absolutas:
Classes ccccc hline Classes & $[75 ; 85)$ & $[85 ; 95)$ & $[95 ; 105)$ & $[105 ; 115)$ hline$ni$ & 25 & 55 & 12 & 8 hline square
25 55 12 8
O desvio padrão é dado por

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma tabela com os perímetros torácicos de 100 pacientes, divididos em 4 classes. O objetivo é calcular o desvio padrão desses dados. Para isso, vamos precisar saber como calcular a média e depois a variação dos dados em relação a essa média. Basicamente, vamos usar conceitos de estatística descritiva como frequência, classes, média e desvio padrão.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o ponto médio de cada classe. O ponto médio é a média dos limites inferior e superior de cada classe e vai nos ajudar a calcular a média dos perímetros.
Para a classe [75 ; 85), o ponto médio é (75 + 85)/2 = 80.
Para [85 ; 95), é (85 + 95)/2 = 90.
Para [95 ; 105), é (95 + 105)/2 = 100.
E para [105 ; 115), é (105 + 115)/2 = 110.

Passo 3

Agora, vamos calcular a média ( mu) dos perímetros torácicos. A média é a soma de todos os valores multiplicados pelas suas respectivas frequências, dividida pelo total de observações.
mu = sum (xi cdot fi)N
Onde:
  • xi é o ponto médio da classe.
  • fi é a frequência da classe.
  • N é o total de observações.
Vamos calcular cada parte:
sum (xi cdot fi) = (80 times 25) + (90 times 55) + (100 times 12) + (110 times 8) = 2000 + 4950 + 1200 + 880 = 9030
Então,
mu = 9030100 = 90,3

Passo 4

Com a média calculada, vamos agora encontrar a variância, que é a média dos quadrados das diferenças entre cada ponto médio e a média geral. A variância nos dá uma ideia de quão espalhados os dados estão em relação à média.
A fórmula da variância ( sigma^2) é:
sigma^2 = sum fi (xi - mu)^2N
Vamos calcular (xi - mu)^2 para cada classe:
  • Para x = 80:
(80 - 90,3)^2 = (-10,3)^2 = 106,09
  • Para x = 90:
(90 - 90,3)^2 = (-0,3)^2 = 0,09
  • Para x = 100:
(100 - 90,3)^2 = 9,7^2 = 94,09
  • Para x = 110:
(110 - 90,3)^2 = 19,7^2 = 388,09
Agora, multiplicamos cada resultado pela frequência correspondente:
sum fi (xi - mu)^2 = (25 times 106,09) + (55 times 0,09) + (12 times 94,09) + (8 times 388,09) = 2652,25 + 4,95 + 1129,08 + 3104,72 = 6890
Então,
sigma^2 = 6890100 = 68,90

Passo 5

Por fim, para encontrar o desvio padrão ( sigma), basta tirar a raiz quadrada da variância:
sigma = raiz68,90 approx 8,30

Resposta

O desvio padrão dos perímetros torácicos é aproximadamente 8,30.

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