Num grupo de pacientes, o nível de colestrol é uma variável aleatória Y com distribuição Normal de média desconhecida e variância 64
.
(indicado como 16 no vídeo de resolução de exercícios) Para uma amostra de 100 indivíduos, que forneceu um nível médio de colesterol de
, calcule o intervalo com
de confiança para a média populacional.
(indicado como 16 no vídeo de resolução de exercícios) Para uma amostra de 100 indivíduos, que forneceu um nível médio de colesterol de
Passo 1
Dados fornecidos e o que o enunciado pede:
- A variável aleatória do nível de colesterol é
com distribuição Normal e variância conhecida . - Tamanho da amostra:
. - Média amostral observada:
. - Nível de confiança desejado:
.
O que pedir: calcular o intervalo de confiança de
para a média populacional
.
Passo 2
Entendendo a distribuição da média amostral (a parte didática):
- Como
é Normal e a amostra é aleatória, a média amostral tem distribuição Normal com média (a média populacional) e variância . Em símbolos:
- Aqui
é o desvio-padrão populacional; como nos deram , temos
- O erro padrão (desvio-padrão da média amostral) é
Isso mede quanto, em média, a média amostral varia em torno da média verdadeira.
Passo 3
Fórmula do intervalo de confiança quando a variância populacional
é conhecida (a parte didática):
- Para um nível de confiança
(aqui ), o intervalo de confiança para é dado por
- Explicando cada símbolo:
-
é a média amostral observada. -
é o quantil correspondente da distribuição Normal padrão; é o número tal que a área entre e é . -
é o erro padrão da média.
-
- Para
de confiança, e . (Isto vem da tabela da Normal padrão; a área central de deixa de cada lado.)
Passo 4
Cálculos numéricos do erro padrão e do termo crítico:
- Primeiro o erro padrão:
- Agora o termo crítico
:
(Para fazer na prova sem calculadora:
.)
Passo 5
Construindo o intervalo e arredondamento:
- Limite inferior:
- Limite superior:
- Arredondando para duas casas decimais (próprio para relatório e prova):
Passo 6
Interpretação intuitiva e motivação (para a prova e para acalmar a ansiedade):
- Dizer que temos um intervalo de confiança de
significa: se repetíssemos muitas amostras do mesmo tamanho e construíssemos o intervalo da mesma forma, aproximadamente desses intervalos conteriam a verdadeira média . - Para este caso concreto, com base na amostra observada, somos
confiantes de que está entre e mg/ml. - Vai dar certo — siga os passos: identificar se
é conhecida, usar a fórmula com , calcular e multiplicar pelo quantil.