Num grupo de pacientes, o nível de colestrol é uma variável aleatória Y com distribuição Normal de média desconhecida e variância 64 (\mathrm{mg} / \mathrm{ml})^{2}.
(indicado como 16 no vídeo de resolução de exercícios) Para uma amostra de 100 indivíduos, que forneceu um nível médio de colesterol de 120 \mathrm{mg} / \mathrm{ml}, calcule o intervalo com 95 \% de confiança para a média populacional.

Passo 1

Dados fornecidos e o que o enunciado pede:
  • A variável aleatória do nível de colesterol é Y com distribuição Normal e variância conhecida \sigma^{2}=64\\ (\mathrm{mg}/\mathrm{ml})^{2}.
  • Tamanho da amostra: n=100.
  • Média amostral observada: \bar{y}=120\\ \mathrm{mg}/\mathrm{ml}.
  • Nível de confiança desejado: 95\%.
O que pedir: calcular o intervalo de confiança de 95\% para a média populacional \mu.

Passo 2

Entendendo a distribuição da média amostral (a parte didática):
  • Como Y é Normal e a amostra é aleatória, a média amostral \bar{Y} tem distribuição Normal com média \mu (a média populacional) e variância \sigma^{2}/n. Em símbolos:
\bar{Y}\sim N\!\left(\mu,\frac{\sigma^{2}}{n}\right).
  • Aqui \sigma é o desvio-padrão populacional; como nos deram \sigma^{2}=64, temos
\sigma=\sqrt{64}=8\\ \mathrm{mg}/\mathrm{ml}.
  • O erro padrão (desvio-padrão da média amostral) é
\mathrm{SE}(\bar{Y})=\frac{\sigma}{\sqrt{n}}.
Isso mede quanto, em média, a média amostral varia em torno da média verdadeira.

Passo 3

Fórmula do intervalo de confiança quando a variância populacional \sigma^{2} é conhecida (a parte didática):
  • Para um nível de confiança 1-\alpha (aqui 1-\alpha=0{,}95), o intervalo de confiança para \mu é dado por
\bar{y}\pm z_{1-\alpha/2}\cdot\frac{\sigma}{\sqrt{n}}.
  • Explicando cada símbolo:
    • \bar{y} é a média amostral observada.
    • z_{1-\alpha/2} é o quantil correspondente da distribuição Normal padrão; é o número tal que a área entre -z_{1-\alpha/2} e +z_{1-\alpha/2} é 1-\alpha.
    • \sigma/\sqrt{n} é o erro padrão da média.
  • Para 95\% de confiança, \alpha=0{,}05 e z_{1-\alpha/2}=z_{0{,}975}\approx 1{,}96. (Isto vem da tabela da Normal padrão; a área central de 95\% deixa 2{,}5\% de cada lado.)

Passo 4

Cálculos numéricos do erro padrão e do termo crítico:
  • Primeiro o erro padrão:
\mathrm{SE}(\bar{Y})=\frac{\sigma}{\sqrt{n}}=\frac{8}{\sqrt{100}}=\frac{8}{10}=0{,}8\\ \mathrm{mg}/\mathrm{ml}.
  • Agora o termo crítico z_{0{,}975}\cdot\mathrm{SE}:
1{,}96\times 0{,}8 = 1{,}568\\ \mathrm{mg}/\mathrm{ml}.
(Para fazer na prova sem calculadora: 1{,}96\cdot0{,}8=(2{,}00-0{,}04)\cdot0{,}8=1{,}6-0{,}032=1{,}568.)

Passo 5

Construindo o intervalo e arredondamento:
  • Limite inferior:
120 - 1{,}568 = 118{,}432\\ \mathrm{mg}/\mathrm{ml}.
  • Limite superior:
120 + 1{,}568 = 121{,}568\\ \mathrm{mg}/\mathrm{ml}.
  • Arredondando para duas casas decimais (próprio para relatório e prova):
\text{Intervalo: }[118{,}43;\\\ 121{,}57]\\ \mathrm{mg}/\mathrm{ml}.

Passo 6

Interpretação intuitiva e motivação (para a prova e para acalmar a ansiedade):
  • Dizer que temos um intervalo de confiança de 95\% significa: se repetíssemos muitas amostras do mesmo tamanho e construíssemos o intervalo da mesma forma, aproximadamente 95\% desses intervalos conteriam a verdadeira média \mu.
  • Para este caso concreto, com base na amostra observada, somos 95\% confiantes de que \mu está entre 118{,}43 e 121{,}57 mg/ml.
  • Vai dar certo — siga os passos: identificar se \sigma é conhecida, usar a fórmula com z, calcular \mathrm{SE} e multiplicar pelo quantil.

Resposta

[118{,}43;\\\ 121{,}57]\\ \mathrm{mg}/\mathrm{ml}

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