Uma empresa deseja investigar se a proporção de entregas com atraso de pelo menos dois dias é maior que 60%, para tomar a decisão de contratar outra transportadora.
A empresa registrou o atraso na entrega de 36 pedidos:
\begin{aligned} & 5103610234153166900 \\\ & 3216481134213567211 \end{aligned}
a) Enuncie as hipóteses apropriadas para o teste, adote o nível de significância de 5 \%.
b) Faça o teste. Qual a conclusão obtida com os dados da amostra coletada?

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: (a) enunciar as hipóteses apropriadas para testar se a proporção de entregas com atraso de pelo menos dois dias é maior que 60\%, adotando nível de significância de 5\%; (b) realizar o teste com os dados fornecidos e concluir com base na amostra.
Informações dadas no enunciado:
\begin{aligned} & 5103610234153166900 \\\ & 3216481134213567211 \end{aligned}
Essas duas linhas foram fornecidas como os registros dos atrasos (uma observação por caractere). O enunciado afirma haver 36 pedidos, mas as duas linhas acima somadas têm 38 dígitos. Há ambiguidade nos dados. Para poder prosseguir (e porque o enunciado diz explicitamente que são 36 pedidos), vou assumir que cada linha tem 18 observações (ou seja, removerei o último caractere de cada linha fornecida), ficando com 36 observações no total. Caso minha suposição esteja errada, o resultado numérico pode mudar; mas a metodologia do teste que vou aplicar continua válida.

Passo 2

Vou colocar explicitamente as observações que estou usando (extraídas do enunciado com a suposição descrita):
Primeira linha (assumida com 18 dígitos):
5,1,0,3,6,1,0,2,3,4,1,5,3,1,6,6,9,0
Segunda linha (assumida com 18 dígitos):
3,2,1,6,4,8,1,1,3,4,2,1,3,5,6,7,2,1
Total de observações: \,n=36.
Agora identificamos “sucessos” como entregas com atraso de pelo menos dois dias, ou seja, observações com valor \ge 2. Vou contar quantos valores são \ge 2.
Contagem das observações \ge 2 (fiz a contagem elemento a elemento): obtive x=24 observações com atraso \ge 2. Portanto a proporção amostral é
\hat{p}=\frac{x}{n}=\frac{24}{36}=\frac{2}{3}\approx 0{,}6667.

Passo 3

(a) Enunciar as hipóteses: como queremos testar se a proporção verdadeira p é maior que 60\%, as hipóteses são
H_0: p=0{,}6
H_1: p>0{,}6
O nível de significância adotado é \alpha=0{,}05.

Passo 4

Escolha do teste e condições: como temos uma amostra de proporção e queremos testar uma hipótese sobre p, usamos o teste-z para proporções (aproximação normal). Essa aproximação é apropriada quando n p_0 e n(1-p_0) são razoavelmente grandes. Verificamos:
n p_0 =36\cdot 0{,}6=21{,}6\quad\text{e}\quad n(1-p_0)=36\cdot 0{,}4=14{,}4,
ambos maiores que 5, então a aproximação normal é aceitável.
A estatística de teste é
Z=\frac{\hat{p}-p_0}{\sqrt{\dfrac{p_0(1-p_0)}{n}}}
onde \hat{p} é a proporção amostral, p_0 é a proporção sob H_0 e n é o tamanho da amostra.

Passo 5

Calcular a estatística passo a passo.
Primeiro o erro-padrão sob H_0:
\text{SE}=\sqrt{\frac{p_0(1-p_0)}{n}}=\sqrt{\frac{0{,}6\cdot 0{,}4}{36}}=\sqrt{\frac{0{,}24}{36}}=\sqrt{0{,}006\overline{6}}\approx 0{,}08164966.
Diferença entre proporções:
\hat{p}-p_0=0{,}666\overline{6}-0{,}6=0{,}066\overline{6}.
Agora a estatística Z:
Z=\frac{0{,}066\overline{6}}{0{,}08164966}\approx 0{,}8165.

Passo 6

Determinar a região de rejeição e o p-valor.
Como o teste é unilateral à direita com \alpha=0{,}05, o valor crítico é
z_{1-\alpha}=z_{0{,}95}\approx 1{,}645.
Comparando, obtemos Z\approx 0{,}8165 < 1{,}645, logo não caímos na região de rejeição.
O p-valor (unilateral à direita) é
\text{p-valor}=1-\Phi(Z)\approx 1-\Phi(0{,}8165)\approx 1-0{,}7929\approx 0{,}2071,
onde \Phi é a função de distribuição acumulada da normal padrão. Esse p-valor é maior que \alpha=0{,}05, confirmando que não rejeitamos H_0.

Passo 7

Interpretação e conclusão (com linguagem clara e prática):
  • Resultado: não há evidência estatística suficiente, ao nível de 5\%, para afirmar que a proporção verdadeira de entregas com atraso de pelo menos dois dias seja maior que 60\%.
  • Em termos práticos: com os dados coletados (assumindo a interpretação dos 36 registros descrita acima), não podemos concluir que a taxa de atraso excede 60\%; portanto, com base neste teste, a empresa não tem evidência forte o bastante para tomar a decisão estatística de contratar outra transportadora somente por esse motivo.

Resposta

(a) H_0: p=0{,}6,\qquad H_1: p>0{,}6,\qquad \alpha=0{,}05
(b) Estatística Z\approx 0{,}8165, p-valor \approx 0{,}2071. Decisão: não rejeitamos H_0. Conclusão: não há evidência suficiente, ao nível de 5\%, para afirmar que a proporção de atrasos \ge 2 dias é maior que 60\%.

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