Uma empresa deseja investigar se a proporção de entregas com atraso de pelo menos dois dias é maior que 60%, para tomar a decisão de contratar outra transportadora.
A empresa registrou o atraso na entrega de 36 pedidos:
a) Enuncie as hipóteses apropriadas para o teste, adote o nível de significância de
.
b) Faça o teste. Qual a conclusão obtida com os dados da amostra coletada?
b) Faça o teste. Qual a conclusão obtida com os dados da amostra coletada?
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: (a) enunciar as hipóteses apropriadas para testar se a proporção de entregas com atraso de pelo menos dois dias é maior que
, adotando nível de significância de
; (b) realizar o teste com os dados fornecidos e concluir com base na amostra.
Informações dadas no enunciado:
Essas duas linhas foram fornecidas como os registros dos atrasos (uma observação por caractere). O enunciado afirma haver
pedidos, mas as duas linhas acima somadas têm
dígitos. Há ambiguidade nos dados. Para poder prosseguir (e porque o enunciado diz explicitamente que são
pedidos), vou assumir que cada linha tem
observações (ou seja, removerei o último caractere de cada linha fornecida), ficando com
observações no total. Caso minha suposição esteja errada, o resultado numérico pode mudar; mas a metodologia do teste que vou aplicar continua válida.
Passo 2
Vou colocar explicitamente as observações que estou usando (extraídas do enunciado com a suposição descrita):
Primeira linha (assumida com 18 dígitos):
Primeira linha (assumida com 18 dígitos):
Segunda linha (assumida com 18 dígitos):
Total de observações:
.
Agora identificamos “sucessos” como entregas com atraso de pelo menos dois dias, ou seja, observações com valor
. Vou contar quantos valores são
.
Contagem das observações
(fiz a contagem elemento a elemento): obtive
observações com atraso
. Portanto a proporção amostral é
Passo 3
(a) Enunciar as hipóteses: como queremos testar se a proporção verdadeira
é maior que
, as hipóteses são
O nível de significância adotado é
.
Passo 4
Escolha do teste e condições: como temos uma amostra de proporção e queremos testar uma hipótese sobre
, usamos o teste-z para proporções (aproximação normal). Essa aproximação é apropriada quando
e
são razoavelmente grandes. Verificamos:
ambos maiores que
, então a aproximação normal é aceitável.
A estatística de teste é
onde
é a proporção amostral,
é a proporção sob
e
é o tamanho da amostra.
Passo 5
Calcular a estatística passo a passo.
Primeiro o erro-padrão sob
:
Diferença entre proporções:
Agora a estatística
:
Passo 6
Determinar a região de rejeição e o p-valor.
Como o teste é unilateral à direita com
, o valor crítico é
Comparando, obtemos
, logo não caímos na região de rejeição.
O p-valor (unilateral à direita) é
onde
é a função de distribuição acumulada da normal padrão. Esse p-valor é maior que
, confirmando que não rejeitamos
.
Passo 7
Interpretação e conclusão (com linguagem clara e prática):
- Resultado: não há evidência estatística suficiente, ao nível de
, para afirmar que a proporção verdadeira de entregas com atraso de pelo menos dois dias seja maior que . - Em termos práticos: com os dados coletados (assumindo a interpretação dos
registros descrita acima), não podemos concluir que a taxa de atraso excede ; portanto, com base neste teste, a empresa não tem evidência forte o bastante para tomar a decisão estatística de contratar outra transportadora somente por esse motivo.
Resposta
(a)
(b) Estatística
, p-valor
. Decisão: não rejeitamos
. Conclusão: não há evidência suficiente, ao nível de
, para afirmar que a proporção de atrasos
dias é maior que
.