Num grupo de pacientes, o nível de colestrol é uma variável aleatória Y com distribuição Normal de média desconhecida e variância 64 (\mathrm{mg} / \mathrm{ml})^{2}.
Qual a influência do tamanho da amostra na amplitude do intervalo de confiança, dado que fixamos \sigma=8 e o nível de confiança em 0.95?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pergunta uma coisa clara.
  • Informações dadas:
    • A variável aleatória do nível de colesterol tem distribuição Normal com média desconhecida (que chamaremos de \mu) e variância conhecida \sigma^{2}=64\;(\mathrm{mg}/\mathrm{ml})^{2}. Logo \sigma=8.
    • O nível de confiança desejado é 0,95.
  • O que o enunciado pede:
    • Qual é a influência do tamanho da amostra n na amplitude (largura total) do intervalo de confiança para \mu, quando \sigma=8 e o nível de confiança é 0,95.

Passo 2

Vamos lembrar a construção do intervalo de confiança para a média quando \sigma é conhecida — aqui preciso te explicar isso direitinho para você usar na prova.
  • Se temos uma amostra de tamanho n e \bar{Y} é a média amostral, a estatística padronizada é
Z=\frac{\bar{Y}-\mu}{\sigma/\sqrt{n}},
que tem distribuição Normal padrão N(0,1). Essa padronização transforma a diferença entre \bar{Y} e \mu em unidades de desvio-padrão da média amostral.
  • Para um nível de confiança 1-\alpha (aqui 1-\alpha=0,95), o intervalo de confiança simétrico em torno de \bar{Y} é dado por
\bar{Y}\pm z_{1-\alpha/2}\,\frac{\sigma}{\sqrt{n}},
onde z_{1-\alpha/2} é o quantil da Normal padrão tal que P(Z\le z_{1-\alpha/2})=1-\alpha/2. Para 0,95 temos \alpha=0,05 e z_{0,975}\approx 1,96. Isso significa que a margem de erro (metade da amplitude) é z_{0,975}\,\sigma/\sqrt{n}.
  • Explicando as letras:
    • \bar{Y} = média amostral (o centro do intervalo).
    • \mu = média populacional desconhecida (o que estamos estimando).
    • \sigma = desvio-padrão populacional (aqui conhecido e igual a 8).
    • n = tamanho da amostra.
    • z_{0,975} = valor crítico da Normal padrão para 95% de confiança (aprox. 1,96).

Passo 3

Agora focamos especificamente na amplitude (largura total) do intervalo de confiança. A amplitude é o comprimento do intervalo entre limite superior e limite inferior. Como o intervalo é simétrico, a amplitude é duas vezes a margem de erro.
  • Fórmula da amplitude geral:
\text{Amplitude} = 2 \cdot z_{1-\alpha/2}\,\frac{\sigma}{\sqrt{n}}.
Isso já mostra qualitativamente que a amplitude depende de 1/\sqrt{n}: quando n aumenta, \sqrt{n} aumenta e a amplitude diminui.

Passo 4

Agora substituímos os valores numéricos do problema: \sigma=8 e, para nível de confiança 0,95, z_{0,975}\approx 1,96.
  • Substituindo na fórmula:
\text{Amplitude} = 2 \cdot 1,96 \cdot \frac{8}{\sqrt{n}}.
  • Calculando o produto 2\cdot 1,96 \cdot 8:
2\cdot 1,96 \cdot 8 = 31,36.
  • Logo a expressão final para a amplitude do intervalo de confiança de 95\% é
\text{Amplitude}=\frac{31,36}{\sqrt{n}}.

Passo 5

Interpretação prática dessa expressão e exemplos numéricos — isto é o mais importante para saber usar na prova.
  • Dependência de n: a amplitude é proporcional a 1/\sqrt{n}. Isso significa que:
    • Se você multiplicar n por 4, a amplitude será dividida por 2. Em outras palavras, para reduzir a amplitude pela metade é preciso quadruplicar o tamanho da amostra.
    • Se você multiplicar n por k, a amplitude será dividida por \sqrt{k}.
  • Exemplos numéricos (mostrando como fica a amplitude para alguns n):
    • Para n=4:
    \text{Amplitude}=\frac{31,36}{\sqrt{4}}=\frac{31,36}{2}=15,68.
    • Para n=16:
    \text{Amplitude}=\frac{31,36}{\sqrt{16}}=\frac{31,36}{4}=7,84.
    • Para n=100:
    \text{Amplitude}=\frac{31,36}{\sqrt{100}}=\frac{31,36}{10}=3,136.
  • Como escolher n para uma amplitude desejada A: resolvendo \dfrac{31,36}{\sqrt{n}} = A obtemos
n=\left(\frac{31,36}{A}\right)^{2}.
  • Exemplo: se você quer amplitude total A=4 (mg/ml),
n=\left(\frac{31,36}{4}\right)^{2}=7,84^{2}=61,4656,
então é preciso n=62 observações (arredondar para cima para garantir a amplitude desejada).

Passo 6

Resumo didático e dica para a prova (curto, prático e motivador):
  • Regra rápida para decorar: amplitude do IC de 95% com \sigma conhecida é aproximadamente \dfrac{31,36}{\sqrt{n}} quando \sigma=8. A parte importante é lembrar que a amplitude decresce como 1/\sqrt{n} — ou seja, ganhos em precisão exigem aumentos quadráticos no tamanho da amostra.
  • Dica prática: se precisar reduzir a largura do IC em alguma fração, calcule o fator em n elevando o inverso desse fator ao quadrado. Por exemplo, para metade da largura, multiplique n por 4.
  • Força aí — você já tem a fórmula e sabe como usar em qualquer exercício parecido!

Resposta

\text{Amplitude}=\dfrac{31,36}{\sqrt{n}}.
A amplitude decresce proporcionalmente a 1/\sqrt{n}; para reduzir a amplitude à metade é preciso quadruplicar n.

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