Num grupo de pacientes, o nível de colestrol é uma variável aleatória Y com distribuição Normal de média desconhecida e variância 64
.
Qual a influência do tamanho da amostra na amplitude do intervalo de confiança, dado que fixamos
e o nível de confiança em 0.95?
Qual a influência do tamanho da amostra na amplitude do intervalo de confiança, dado que fixamos
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pergunta uma coisa clara.
-
Informações dadas:
- A variável aleatória do nível de colesterol tem distribuição Normal com média desconhecida (que chamaremos de
) e variância conhecida . Logo . - O nível de confiança desejado é
.
- A variável aleatória do nível de colesterol tem distribuição Normal com média desconhecida (que chamaremos de
-
O que o enunciado pede:
- Qual é a influência do tamanho da amostra
na amplitude (largura total) do intervalo de confiança para , quando e o nível de confiança é .
- Qual é a influência do tamanho da amostra
Passo 2
Vamos lembrar a construção do intervalo de confiança para a média quando
é conhecida — aqui preciso te explicar isso direitinho para você usar na prova.
- Se temos uma amostra de tamanho
e é a média amostral, a estatística padronizada é
que tem distribuição Normal padrão
. Essa padronização transforma a diferença entre
e
em unidades de desvio-padrão da média amostral.
- Para um nível de confiança
(aqui ), o intervalo de confiança simétrico em torno de é dado por
onde
é o quantil da Normal padrão tal que
. Para
temos
e
. Isso significa que a margem de erro (metade da amplitude) é
.
- Explicando as letras:
-
= média amostral (o centro do intervalo). -
= média populacional desconhecida (o que estamos estimando). -
= desvio-padrão populacional (aqui conhecido e igual a ). -
= tamanho da amostra. -
= valor crítico da Normal padrão para 95% de confiança (aprox. ).
-
Passo 3
Agora focamos especificamente na amplitude (largura total) do intervalo de confiança. A amplitude é o comprimento do intervalo entre limite superior e limite inferior. Como o intervalo é simétrico, a amplitude é duas vezes a margem de erro.
- Fórmula da amplitude geral:
Isso já mostra qualitativamente que a amplitude depende de
: quando
aumenta,
aumenta e a amplitude diminui.
Passo 4
Agora substituímos os valores numéricos do problema:
e, para nível de confiança
,
.
- Substituindo na fórmula:
- Calculando o produto
:
- Logo a expressão final para a amplitude do intervalo de confiança de
é
Passo 5
Interpretação prática dessa expressão e exemplos numéricos — isto é o mais importante para saber usar na prova.
-
Dependência de
: a amplitude é proporcional a . Isso significa que: - Se você multiplicar
por , a amplitude será dividida por . Em outras palavras, para reduzir a amplitude pela metade é preciso quadruplicar o tamanho da amostra. - Se você multiplicar
por , a amplitude será dividida por .
- Se você multiplicar
-
Exemplos numéricos (mostrando como fica a amplitude para alguns
): - Para
:
- Para
:
- Para
:
- Para
-
Como escolher
para uma amplitude desejada : resolvendo obtemos
- Exemplo: se você quer amplitude total
(mg/ml),
então é preciso
observações (arredondar para cima para garantir a amplitude desejada).
Passo 6
Resumo didático e dica para a prova (curto, prático e motivador):
- Regra rápida para decorar: amplitude do IC de 95% com
conhecida é aproximadamente quando . A parte importante é lembrar que a amplitude decresce como — ou seja, ganhos em precisão exigem aumentos quadráticos no tamanho da amostra. - Dica prática: se precisar reduzir a largura do IC em alguma fração, calcule o fator em
elevando o inverso desse fator ao quadrado. Por exemplo, para metade da largura, multiplique por . - Força aí — você já tem a fórmula e sabe como usar em qualquer exercício parecido!
Resposta
A amplitude decresce proporcionalmente a