(indicado como 14 no vídeo de resolução de exercícios) Considere um estudo no qual se deseja estimar a proporção de solicitações atendidas e resolvidas de uma central do usuário através de uma amostra aleatória simples.
Se a amostra for de 4000 solicitações, qual será a margem de erro (com confiança de 95 \% ) para a estimação da proporção de resolvidas?

Passo 1

O enunciado pergunta qual é a margem de erro para estimar a proporção de solicitações resolvidas usando uma amostra aleatória simples de n=4000 com nível de confiança de 95\%. Informações dadas:
  • Tamanho da amostra: n=4000.
  • Nível de confiança: 95\%.
  • Não foi fornecida uma estimativa da proporção \hat p (ou seja, desconhecemos \hat p).
    A pergunta única é: qual a margem de erro (em termos absolutos, que costuma ser dada em pontos percentuais) para essa estimativa, com 95\% de confiança?

Passo 2

Apresento a fórmula geral da margem de erro para uma proporção em amostra aleatória simples:
\text{ME} = z_{\alpha/2}\,\sqrt{\dfrac{\hat p(1-\hat p)}{n}}
Explicando cada símbolo:
  • \text{ME} é a margem de erro (em proporção, por exemplo 0,02 = 2\%).
  • z_{\alpha/2} é o quantil da distribuição normal padrão correspondente ao nível de confiança. Para 95\% de confiança, \alpha = 0,05 e \alpha/2=0,025.
  • \hat p é a estimativa de proporção obtida da amostra (se conhecida, usamos esse valor).
  • n é o tamanho da amostra ( n=4000 no problema).
    No caso de 95\% de confiança usamos o valor padrão
z_{0,025}=1,96.

Passo 3

Como não foi dada uma \hat p, adotamos a escolha conservadora \hat p=0,5. Justificativa didática:
  • A função variância aproximada g(p)=p(1-p) atinge seu máximo em p=\tfrac{1}{2}.
    Mostro rapidamente por cálculo:
g(p)=p(1-p)=p-p^2,\quad g'(p)=1-2p=0\Rightarrow p=\tfrac{1}{2}.
Nesse ponto g\big(\tfrac{1}{2}\big)=\tfrac{1}{4}=0,25, ou seja, \hat p(1-\hat p)\le 0,25 para qualquer \hat p. Portanto, usar \hat p=0,5 fornece a maior (mais conservadora) margem de erro quando \hat p é desconhecida.

Passo 4

Agora substituímos os valores na fórmula usando \hat p=0,5, n=4000 e z_{0,025}=1,96:
\text{ME} = 1,96\sqrt{\dfrac{0,5(1-0,5)}{4000}}.
Calcule o termo dentro da raiz:
\dfrac{0,5(1-0,5)}{4000}=\dfrac{0,25}{4000}=0,0000625.
Agora a raiz:
\sqrt{0,0000625}\approx 0,0079057.

Passo 5

Multiplicando pelo z-crítico:
\text{ME}=1,96\times 0,0079057\approx 0,015499.
Convertendo para porcentagem (multiplicando por 100\%):
\text{ME}\approx 1,5499\%\approx 1,55\%.
Interpretação prática: com 95\% de confiança a estimativa da proporção de resolvidas tem erro de cerca de \pm 1,55 pontos percentuais. Se no futuro você tiver uma \hat p conhecida da amostra, substitua \hat p na fórmula para obter uma margem de erro menos conservadora.

Resposta

\pm 1,55\%

Exercícios relacionados