Considere a seguinte equação aplicada para obter um intervalo de confiança bilateral de
para o parâmetro
de uma distribuição normal a partir de uma amostra aleatória de
observações:
em que
e
são pontos da distribuição
com
graus de liberdade, que delimita à sua direita
de área. Considerando uma amostra aleatória de 15 elementos:
(Para as respostas considere 3 casas decimais).
(indicado como 13 no vídeo de resolução de exercícios) Qual é o valor de
nessa equação que fornece
de confiança?
(Para as respostas considere 3 casas decimais).
(indicado como 13 no vídeo de resolução de exercícios) Qual é o valor de
Passo 1
Vamos entender o que o problema pede e quais são os dados que temos. O enunciado pergunta qual é o valor de
que aparece no intervalo de confiança bilateral para
quando a confiança é de
e a amostra tem
observações. Informações relevantes fornecidas:
- Tamanho da amostra:
. - Nível de confiança:
. - Na fórmula do intervalo aparece
, que é o ponto da distribuição com graus de liberdade que deixa de área à direita.
Passo 2
Calcular
e
. Como o nível de confiança é
, temos:
Portanto,
Isto significa que queremos o valor de
com área à direita igual a
.
Passo 3
Determinar os graus de liberdade da distribuição
utilizada. Para estimar
a partir de uma amostra de tamanho
, usamos
graus de liberdade. Assim:
Logo queremos o quantil da
com
graus de liberdade tal que a área à direita seja
.
Passo 4
Definir precisamente o ponto procurado. Pelo enunciado,
é o ponto tal que
Equivalentemente, é o quantil de ordem
(área acumulada à esquerda
) da
com
graus de liberdade. Em notação de quantil:
Passo 5
Como obter numericamente esse quantil? Normalmente usamos tabela de
ou uma calculadora/softwares estatísticos (R, Python, calculadora científica). Se não tiver tabela à mão, podemos usar a aproximação de Wilson–Hilferty (uma transformação cúbica que aproxima a
por uma normal) para estimar o valor com boa precisão. Vou mostrar a ideia da aproximação e aplicá‑la (sempre é preferível confirmar com tabela ou software quando possível).
A aproximação de Wilson–Hilferty diz que, para
,
onde
é o quantil da normal padrão correspondente à probabilidade desejada. Aqui
e queremos a probabilidade à esquerda
, cujo quantil normal é
.
Passo 6
Aplicar a aproximação passo a passo (vou explicar cada termo):
-
. -
. - Calcular
. - Calcular
. - Então
- Finalmente, estimamos
Passo 7
Interpretação e checagem: o valor obtido representa o ponto da
com
graus de liberdade que deixa
(ou
) da área à direita, isto é, é
. A aproximação usada geralmente acerta dentro de algumas centésimas; tabelas/softwares dão um valor muito próximo. Portanto, com três casas decimais, tomamos: