Considere a seguinte equação aplicada para obter um intervalo de confiança bilateral de 100(1-\alpha) \% para o parâmetro \sigma^{2} de uma distribuição normal a partir de uma amostra aleatória de n observações:
\left[\frac{(n-1) s^{2}}{\chi_{\alpha / 2}^{2}} \leq \sigma^{2} \leq \frac{(n-1) s^{2}}{\chi_{1-\alpha / 2}^{2}}\right]
em que \chi_{\alpha / 2}^{2} e \chi_{1-\alpha / 2}^{2} são pontos da distribuição \chi^{2} com n-1 graus de liberdade, que delimita à sua direita \alpha / 2 de área. Considerando uma amostra aleatória de 15 elementos:
(Para as respostas considere 3 casas decimais).
(indicado como 13 no vídeo de resolução de exercícios) Qual é o valor de \chi_{\alpha / 2} nessa equação que fornece 99 \% de confiança?

Passo 1

Vamos entender o que o problema pede e quais são os dados que temos. O enunciado pergunta qual é o valor de \chi_{\alpha/2}^{2} que aparece no intervalo de confiança bilateral para \sigma^{2} quando a confiança é de 99\% e a amostra tem n=15 observações. Informações relevantes fornecidas:
  • Tamanho da amostra: n=15.
  • Nível de confiança: 100(1-\alpha)\% = 99\%.
  • Na fórmula do intervalo aparece \chi_{\alpha/2}^{2}, que é o ponto da distribuição \chi^{2} com n-1 graus de liberdade que deixa \alpha/2 de área à direita.

Passo 2

Calcular \alpha e \alpha/2. Como o nível de confiança é 99\%, temos:
\alpha = 1 - 0,99 = 0,01.
Portanto,
\alpha/2 = 0,01/2 = 0,005.
Isto significa que queremos o valor de \chi^{2} com área à direita igual a 0,005.

Passo 3

Determinar os graus de liberdade da distribuição \chi^{2} utilizada. Para estimar \sigma^{2} a partir de uma amostra de tamanho n, usamos n-1 graus de liberdade. Assim:
\text{graus de liberdade} = n-1 = 15-1 = 14.
Logo queremos o quantil da \chi^{2} com 14 graus de liberdade tal que a área à direita seja 0,005.

Passo 4

Definir precisamente o ponto procurado. Pelo enunciado, \chi_{\alpha/2}^{2} é o ponto tal que
P\big( \chi^{2}_{14} > \chi_{\alpha/2}^{2} \big) = \alpha/2 = 0,005.
Equivalentemente, é o quantil de ordem 0{,}995 (área acumulada à esquerda =1-0{,}005=0{,}995) da \chi^{2} com 14 graus de liberdade. Em notação de quantil:
\chi_{\alpha/2}^{2} = \chi^{2}_{14,\;0{,}995}.

Passo 5

Como obter numericamente esse quantil? Normalmente usamos tabela de \chi^{2} ou uma calculadora/softwares estatísticos (R, Python, calculadora científica). Se não tiver tabela à mão, podemos usar a aproximação de Wilson–Hilferty (uma transformação cúbica que aproxima a \chi^{2} por uma normal) para estimar o valor com boa precisão. Vou mostrar a ideia da aproximação e aplicá‑la (sempre é preferível confirmar com tabela ou software quando possível).
A aproximação de Wilson–Hilferty diz que, para X\sim\chi^{2}_{k},
\left(\frac{X}{k}\right)^{1/3} \approx 1 - \frac{2}{9k} + z\sqrt{\frac{2}{9k}},
onde z é o quantil da normal padrão correspondente à probabilidade desejada. Aqui k=14 e queremos a probabilidade à esquerda 0{,}995, cujo quantil normal é z\approx 2{,}575829.

Passo 6

Aplicar a aproximação passo a passo (vou explicar cada termo):
  • k = 14.
  • z = \Phi^{-1}(0{,}995) \approx 2{,}575829.
  • Calcular \displaystyle a = 1 - \frac{2}{9k} = 1 - \frac{2}{9\cdot 14} = 1 - \frac{2}{126} = 1 - 0{,}015873\;=\;0{,}984126984127.
  • Calcular \displaystyle b = \sqrt{\frac{2}{9k}} = \sqrt{\frac{2}{126}} \approx 0{,}125999.
  • Então \displaystyle y = a + z\cdot b \approx 0{,}984126984127 + 2{,}575829\cdot 0{,}125999 \approx 1{,}308678900539.
  • Finalmente, estimamos
X \approx k\, y^{3} \approx 14 \times (1{,}308678900539)^{3} \approx 14 \times 2{,}241298300 \approx 31{,}378.

Passo 7

Interpretação e checagem: o valor obtido representa o ponto da \chi^{2} com 14 graus de liberdade que deixa 0{,}5\% (ou 0{,}005) da área à direita, isto é, é \chi^{2}_{14,\,0{,}995}. A aproximação usada geralmente acerta dentro de algumas centésimas; tabelas/softwares dão um valor muito próximo. Portanto, com três casas decimais, tomamos:
\chi_{\alpha/2}^{2} = \chi^{2}_{14,\,0{,}995} \approx 31{,}378.

Resposta

\chi_{\alpha/2}^{2}=\;31{,}378

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