Considere a seguinte equação aplicada para obter um intervalo de confiança bilateral de 100(1-\alpha) \% para o parâmetro \sigma^{2} de uma distribuição normal a partir de uma amostra aleatória de n observações:
\left[\frac{(n-1) s^{2}}{\chi_{\alpha / 2}^{2}} \leq \sigma^{2} \leq \frac{(n-1) s^{2}}{\chi_{1-\alpha / 2}^{2}}\right]
em que \chi_{\alpha / 2}^{2} e \chi_{1-\alpha / 2}^{2} são pontos da distribuição \chi^{2} com n-1 graus de liberdade, que delimita à sua direita \alpha / 2 de área. Considerando uma amostra aleatória de 15 elementos:
(Para as respostas considere 3 casas decimais).
(indicado como 13 no vídeo de resolução de exercícios) Qual é o valor de \chi_{\alpha / 2} nessa equação que fornece 90 \% de confiança?

Passo 1

O que o enunciado pede: encontrar o valor de \chi_{\alpha/2} que aparece no intervalo de confiança bilateral para \sigma^{2} quando a confiança é de 90\% e a amostra tem n=15 observações. Informações relevantes dadas:
n=15
\text{nível de confiança} = 90\%íç
\text{a notação } \chi_{\alpha/2}^{2} \text{ indica o ponto da distribuição } \chi^{2} \text{ com área } \alpha/2 \text{ à direita}çãçãáà

Passo 2

Calcular \alpha e \alpha/2. O nível de confiança é 1-\alpha=0,90, logo
\alpha=1-0,90=0,10
e
\frac{\alpha}{2}=0,05.

Passo 3

Determinar os graus de liberdade da \chi^{2}. Para variância de amostra usamos \nu=n-1, então
\nu=n-1=15-1=14.

Passo 4

Interpretar o que precisamos buscar: \chi_{\alpha/2}^{2} é o valor tal que a probabilidade à direita é \alpha/2. Em notação completa estamos procurando
\chi^{2}_{0,05;\,14}\quad\text{tal que}\quad P\big(\chi^{2}_{14}>\chi^{2}_{0,05;\,14}\big)=0,05.
Esse valor é obtido consultando uma tabela da \chi^{2} ou usando uma função quantil (por exemplo, em calculadora estatística ou software: quantile da \chi^{2} com \nu=14 para probabilidade 0,95 do lado esquerdo).

Passo 5

Consulta à tabela ou cálculo numérico: o quantil da \chi^{2} com 14 graus de liberdade que deixa 0,05 à direita (ou 0,95 à esquerda) é aproximadamente
\chi^{2}_{0,05;\,14}\approx 23,685.

Passo 6

Interpretação final rápida: esse é o número que você usa no denominador do limite inferior do intervalo (conforme a notação do enunciado), pois ele corresponde ao ponto que tem área 0,05 à sua direita na \chi^{2} com 14 graus de liberdade.

Resposta

\chi_{\alpha/2}^{2}=\chi^{2}_{0,05;\,14}\approx 23,685

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