Um grupo de pesquisadores deseja relacionar o IMC (índice de massa corporal) com a expectativa de vida média de um adulto do sexo masculino. O IMC é calculado usando-se a seguinte fórmula I M C=Mh^2, onde M é a massa da pessoa em kg, e h é a altura em metros. Após algumas tentativas, a melhor solução encontrada foi a relação de risco cardíaco com o IMC, pela fórmula R=a e^k I, onde R é o risco, I é IMC, a e k são constantes. Sabendo que para um I M C=22,5 temos R=0,25 e para I M C=42,5 temos R=0,5 determine:
Faça um esboço do gráfico RxI.

Passo 1

Temos um modelo exponencial que relaciona risco cardíaco ao IMC, dado por R = a e^kI. Sabemos que para I=22,5 vale R=0,25 e para I=42,5 vale R=0,5. O conteúdo aqui é ajuste de modelo exponencial e depois esboço da curva R versus I.

Passo 2

Para eliminar a e encontrar k, dividimos as duas equações:
0,50,25 = a e^kcdot 42,5a e^kcdot 22,5 = e^k(42,5 - 22,5)
Isso dá
2 = e^20k Longrightarrow k = ln 220 approx 0,03466

Passo 3

Agora achamos a substituindo em uma das equações, por exemplo em R(22,5)=0,25:
0,25 = a e^0,03466times 22,5 Longrightarrow a = 0,25,e^-0,03466times 22,5 approx 0,1148

Passo 4

Com a e k determinados, o modelo fica
R(I) = 0,1148,e^0,03466 ;I
Para o esboço, traçamos eixos com I no horizontal (IMC) e R no vertical (risco). A curva é crescente e concava para cima, passa pelos pontos (22,5,0,25) e (42,5,0,5).

Resposta

O esboço da curva exponencial R vs. I passa pelos pontos dados e tem formato crescente e concavo para cima. Uma versão em ASCII fica assim:
   R
0.6 | *
| *
0.5 | *
| *
0.4 | *
| *
0.3 | *
|
0.2 |*
|
0.1 *
±------------------------------- I
0 22.5 42.5
O modelo é
R(I) = 0.1148,e^0.03466,I
eixo horizontal: IMC; eixo vertical: risco cardíaco.

Exercícios relacionados