Uma lanchonete permite que o cliente monte seu sanduíche escolhendo 1 tipo de pão (3 opções), 2 tipos de frios ( 5 opções) e 1 tipo de queijo ( 4 opções). De quantas formas diferentes um cliente pode montar seu sanduíche?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações: o cliente escolhe exatamente 1 tipo de pão entre 3 opções, escolhe exatamente 2 tipos de frios entre 5 opções (presumo que sejam dois tipos diferentes, ou seja, sem repetição e sem ordem), e escolhe exatamente 1 tipo de queijo entre 4 opções. A pergunta é: de quantas formas diferentes um cliente pode montar seu sanduíche?

Passo 2

Vamos aprender um princípio básico e poderoso: a Regra do Produto (ou princípio multiplicativo). Ela diz que, se uma escolha consiste de etapas independentes e a etapa 1 pode ser feita de n_1 maneiras, a etapa 2 de n_2 maneiras, …, e a etapa k de n_k maneiras, então o número total de formas de fazer todas as etapas é
n_1\cdot n_2\cdots n_k.
Exemplo simples: se tenho 2 camisetas e 3 calças, os conjuntos camiseta+calça possíveis são 2\times3=6.

Passo 3

Aplicando isso às escolhas que são “uma única opção” (pão e queijo): o número de modos de escolher o pão é 3 e o número de modos de escolher o queijo é 4. Se só tivéssemos essas duas etapas, o total seria
3\cdot 4 = 12.
Isso corresponde a todas as combinações pão+queijo.

Passo 4

Agora a parte que precisa de atenção: escolher 2 tipos de frios entre 5 opções, sem repetição e sem considerar ordem. Esse é um problema de combinação simples. A fórmula geral para o número de maneiras de escolher k elementos dentre n quando a ordem não importa e não há repetição é o coeficiente binomial
\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!},
onde n! (fatorial de n) é definido como
n!=n\cdot(n-1)\cdot (n-2)\cdots 2\cdot1
e por convenção 0!=1.

Passo 5

Calculemos \binom{5}{2}. Usando a fórmula:
\binom{5}{2}=\frac{5!}{2!(5-2)!}=\frac{5!}{2!\,3!}.
Agora escrevemos os fatoriais e simplificamos:
5!=5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1,\quad 2!=2\cdot1,\quad 3!=3\cdot2\cdot1.
Ao dividir, muitos fatores se cancelam; é mais simples notar que
\binom{5}{2}=\frac{5\cdot4}{2\cdot1}= \frac{20}{2}=10.
(Outra maneira: há 5\cdot4=20 formas ordenadas de escolher dois frios diferentes, mas cada par é contado duas vezes pela ordem, então 20/2=10.)

Passo 6

Agora combinamos tudo usando a Regra do Produto: escolher o pão ( 3 maneiras), escolher os 2 frios ( \binom{5}{2}=10 maneiras) e escolher o queijo ( 4 maneiras). Como as etapas são independentes, multiplicamos:
3\cdot \binom{5}{2}\cdot 4 = 3\cdot 10\cdot 4.

Passo 7

Calculemos passo a passo:
3\cdot 10 = 30,
30\cdot 4 = 120.
Logo, há 120 sanduíches diferentes possíveis.

Resposta

120

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