Uma lanchonete permite que o cliente monte seu sanduíche escolhendo 1 tipo de pão (3 opções), 2 tipos de frios ( 5 opções) e 1 tipo de queijo ( 4 opções). De quantas formas diferentes um cliente pode montar seu sanduíche?
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações: o cliente escolhe exatamente 1 tipo de pão entre
opções, escolhe exatamente
tipos de frios entre
opções (presumo que sejam dois tipos diferentes, ou seja, sem repetição e sem ordem), e escolhe exatamente
tipo de queijo entre
opções. A pergunta é: de quantas formas diferentes um cliente pode montar seu sanduíche?
Passo 2
Vamos aprender um princípio básico e poderoso: a Regra do Produto (ou princípio multiplicativo). Ela diz que, se uma escolha consiste de etapas independentes e a etapa
pode ser feita de
maneiras, a etapa
de
maneiras, …, e a etapa
de
maneiras, então o número total de formas de fazer todas as etapas é
Exemplo simples: se tenho
camisetas e
calças, os conjuntos camiseta+calça possíveis são
.
Passo 3
Aplicando isso às escolhas que são “uma única opção” (pão e queijo): o número de modos de escolher o pão é
e o número de modos de escolher o queijo é
. Se só tivéssemos essas duas etapas, o total seria
Isso corresponde a todas as combinações pão+queijo.
Passo 4
Agora a parte que precisa de atenção: escolher
tipos de frios entre
opções, sem repetição e sem considerar ordem. Esse é um problema de combinação simples. A fórmula geral para o número de maneiras de escolher
elementos dentre
quando a ordem não importa e não há repetição é o coeficiente binomial
onde
(fatorial de
) é definido como
e por convenção
.
Passo 5
Calculemos
. Usando a fórmula:
Agora escrevemos os fatoriais e simplificamos:
Ao dividir, muitos fatores se cancelam; é mais simples notar que
(Outra maneira: há
formas ordenadas de escolher dois frios diferentes, mas cada par é contado duas vezes pela ordem, então
.)
Passo 6
Agora combinamos tudo usando a Regra do Produto: escolher o pão (
maneiras), escolher os
frios (
maneiras) e escolher o queijo (
maneiras). Como as etapas são independentes, multiplicamos:
Passo 7
Calculemos passo a passo:
Logo, há
sanduíches diferentes possíveis.