Um grupo de roedores sociais é estudado durante um ano e os pesquisadores observam que o grupo ocupa uma área de 17,7 hectares. Continuando a observação, os pesquisadores descobrem que a área ocupada pelos roedores varia a uma taxa anual de aproximadamente
, onde
.
Use o método das frações parciais e o fato de que
, para determinar a área ocupada em função do tempo para
.
Use o método das frações parciais e o fato de que
Passo 1
Temos um problema de encontrar a função área
sabendo que sua derivada é
para
e que
. O conteúdo envolvido é integral de frações racionais, usando frações parciais para integrar.
Passo 2
Reescrevemos a derivada como uma soma de frações mais simples. Observamos que
Passo 3
Resolvendo para
e
:
Passo 4
Logo, igualando coeficientes:
e
, daí
e
. Portanto
Passo 5
Integramos termo a termo:
Passo 6
Aplicamos a condição inicial
:
Passo 7
Assim
Passo 8
Substituindo em
e combinando
, obtemos a forma final de
.
Resposta
y(t)=\ln\bigl(\tfrac{10,t}{t+9}\bigr)+17,7