Um grupo de roedores sociais é estudado durante um ano e os pesquisadores observam que o grupo ocupa uma área de 17,7 hectares. Continuando a observação, os pesquisadores descobrem que a área ocupada pelos roedores varia a uma taxa anual de aproximadamente y^prime(t)=9t^2+9 t, onde t >= 1.
Use o método das frações parciais e o fato de que y(1)=17,7, para determinar a área ocupada em função do tempo para t >= 1.
R: y(t)=Ln(16 tt+9)+20

Passo 1

Temos um problema de encontrar a função área y(t) sabendo que sua derivada é y'(t)=9t^2+9t para t>=1 e que y(1)=17,7. O conteúdo envolvido é integral de frações racionais, usando frações parciais para integrar.

Passo 2

Reescrevemos a derivada como uma soma de frações mais simples. Observamos que
9t^2+9t=9t(t+9)=At+Bt+9

Passo 3

Resolvendo para A e B:
9 = A(t+9)+Bt = (A+B)t + 9A

Passo 4

Logo, igualando coeficientes: A+B=0 e 9A=9, daí A=1 e B=-1. Portanto
y'(t)=1t-1t+9

Passo 5

Integramos termo a termo:
y(t)=integrall(1t-1t+9r),dt=ln t - ln(t+9) + C = lnl(tfractt+9r) + C

Passo 6

Aplicamos a condição inicial y(1)=17,7:
17,7 = lnl(tfrac11+9r) + C = ln(0,1) + C = -ln10 + C

Passo 7

Assim
C = 17,7 + ln10

Passo 8

Substituindo em y(t) e combinando ln10+lnl(tfractt+9r)=lnl(tfrac10tt+9r), obtemos a forma final de y(t).

Resposta

y(t)=\ln\bigl(\tfrac{10,t}{t+9}\bigr)+17,7

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