Calcular as seguintes integrais utilizando o método indicado.
I=integral x arctg x d x

Passo 1

Vamos resolver a integral $ I = \int x \arctan(x) , dx $. Para isso, vamos usar o método de integração por partes, que é uma técnica útil para integrar o produto de duas funções. Precisamos identificar quais partes da integral serão atribuídas a $ u $ e $ dv $ na fórmula da integração por partes.

Passo 2

A fórmula de integração por partes é:
integral u , dv = u cdot v - integral v , du
Nessa integral, vamos escolher:
  • $ u = \arctan(x) $ (porque a derivada de $ \arctan(x) $ é mais simples)
  • $ dv = x , dx $

Passo 3

Agora, vamos calcular $ du $ e $ v $:
  1. Derivando $ u $:
du
  1. Integrando $ dv $:
v

Passo 4

Aplicando a fórmula de integração por partes:
I = u cdot v - integral v , du = arctan(x) cdot x^22 - integral x^22 cdot 11 + x^2 , dx
Vamos simplificar a segunda integral:
integral x^22(1 + x^2) , dx = 12 integral x^21 + x^2 , dx
Note que $ \frac{x^2}{1 + x^2} = 1 - \frac{1}{1 + x^2} $, então:
x^21 + x^2 = 1 - 11 + x^2

Passo 5

Vamos calcular as integrais separadamente:
  1. Integral de 1:
integral 1 , dx = x
  1. Integral de $ \frac{1}{1 + x^2} $:
11 + x^2
Então, temos:
integral 11 + x^2 , dx = arctan(x)

Passo 6

Voltando à expressão de $ I $:
I
Simplificando:
I = x^22 arctan(x) - 12(x - arctan(x)) + C
Agrupando os termos semelhantes:
I = x^22 arctan(x) - x2 + 12 arctan(x) + C

Resposta

A integral avaliada é:
I = ( x^22 + 12 ) arctan(x) - x2 + C

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