Calcular as seguintes integrais utilizando o método indicado.
Passo 1
Vamos resolver a integral $ I = \int x \arctan(x) , dx $. Para isso, vamos usar o método de integração por partes, que é uma técnica útil para integrar o produto de duas funções. Precisamos identificar quais partes da integral serão atribuídas a $ u $ e $ dv $ na fórmula da integração por partes.
Passo 2
A fórmula de integração por partes é:
Nessa integral, vamos escolher:
- $ u = \arctan(x) $ (porque a derivada de $ \arctan(x) $ é mais simples)
- $ dv = x , dx $
Passo 3
Agora, vamos calcular $ du $ e $ v $:
- Derivando $ u $:
- Integrando $ dv $:
Passo 4
Aplicando a fórmula de integração por partes:
Vamos simplificar a segunda integral:
Note que $ \frac{x^2}{1 + x^2} = 1 - \frac{1}{1 + x^2} $, então:
Passo 5
Vamos calcular as integrais separadamente:
- Integral de 1:
- Integral de $ \frac{1}{1 + x^2} $:
Então, temos:
Passo 6
Voltando à expressão de $ I $:
Simplificando:
Agrupando os termos semelhantes:
Resposta
A integral avaliada é: