Um motor de corrente contínua excitação independente possui os seguintes dados para a operação com enfraquecimento de campo, operação com potência nominal até 3600 rpm e velocidade máxima de operação 3900 rpm , cuja potência correspondente é 60 kW . Os seus dados nominais são: \mathrm{P}_{\mathrm{N}}=68 \mathrm{~kW}, \mathrm{n}_{\mathrm{N}}=1360 \mathrm{rpm}, \mathrm{U}_{\text {AN }}=380 \mathrm{~V}, \mathrm{I}_{\text {AN }}=198 \mathrm{~A}, \mathrm{R}_{\text {AN }}=0,145 \Omega, \eta_{\mathrm{N}} =0,89, \mathrm{~J}_{\mathrm{M}}=8 \mathrm{kgm}, \mathrm{U}_{\mathrm{ex}}=220 \mathrm{~V}, \mathrm{l}_{\mathrm{ex}}=15 \mathrm{~A}. Netas condições:
a) Calcule a velocidade do motor, quando operando com tensão de armadura e fluxo nominais e carga 50% da nominal;
b) Qual deve ser a tensão da armadura para que com 50 \% da carga nominal a velocidade seja mantida na nominal;
c) Calcule U_{A}, para n=0,4 e M=0,7;
d) Calcule M e a redução de fluxo para operação com velocidade 3600 rpm ;
e) Calcule o conjugado M e a correspondente corrente de armadura, para operação \mathrm{n}= 3900 rpm quando a máquina pode operar com potência de 60 kW . Calcule também a redução de fluxo correspondente;
f) Calcule a velocidade em vazio do motor.

Passo 1

O enunciado dá os dados nominais e pede várias quantidades em diferentes condições. Vou listar tudo de forma clara (peguei todos os números do enunciado):
Dados nominais (retirados do enunciado):
  • P_{\mathrm{N}}=68\\ \text{kW}
  • n_{\mathrm{N}}=1360\\ \text{rpm}
  • U_{A\mathrm{N}}=380\\ \text{V}
  • I_{A\mathrm{N}}=198\\ \text{A}
  • R_{A}=0,145\\ \Omega
  • \eta_{\mathrm{N}}=0{,}89 (eficiência nominal)
  • J_{M}=8\\ \text{(unidade dada)} (momento de inércia; não será necessário em quase todas as contas estáticas)
  • U_{\mathrm{ex}}=220\\ \text{V} e I_{\mathrm{ex}}=15\\ \text{A} (excitação nominal)
O enunciado pede, nas condições especificadas:
a) velocidade do motor com U_A e fluxo nominais e carga igual a 50\% da nominal;
b) tensão da armadura necessária para que com 50\% da carga a velocidade seja a nominal;
c) U_A para n=0{,}4 (ou seja 40\% da velocidade nominal) e M=0{,}7 (ou seja 70\% do conjugado nominal);
d) conjugado M e redução de fluxo (razão \Phi/\Phi_N) para operação com n=3600\\ \text{rpm} assumindo que até 3600 rpm a máquina entrega a potência nominal;
e) para n=3900\\ \text{rpm} e potência disponível 60\\ \text{kW}: calcular M, a corrente de armadura correspondente e a redução de fluxo;
f) velocidade em vazio do motor (com excitação nominal e U_A=380\\ \text{V}).
Observação importante (modelo e hipóteses que vou usar — não é pedido no Passo 1, apenas informado): para um motor CC de excitação independente usamos as relações básicas (explicarei em detalhe nos passos seguintes):
  • força contra-eletromotriz \,E=k_\Phi\omega, onde k_\Phi é uma constante que já incorpora o fluxo \Phi (ou seja k_\Phi\propto\Phi);
  • conjugado eletromagnético \,M=k_\Phi I_A;
  • tensão de armadura \,U_A=E+I_A R_A;
  • velocidade angular \omega = 2\pi n/60.

Passo 2

Calcular constantes nominais que vamos usar (aqui ensino e aplico as fórmulas).
  1. Explicando as fórmulas:
  • A força contra-eletromotriz E é a tensão induzida proporcional à velocidade angular e ao fluxo: E = k_\Phi\,\omega.Aqui k_\Phi tem unidades \mathrm{V\cdot s/rad} e já incorpora o fluxo nominal \Phi_N.
  • O conjugado eletromagnético é proporcional à corrente de armadura e ao mesmo k_\Phi: M = k_\Phi\,I_A.Isso significa que, se \Phi diminuir, k_\Phi diminui na mesma razão e o conjugado por ampère diminui também.
  • A tensão de armadura aplicada satisfaz: U_A = E + I_A R_A.
  • A velocidade angular e a velocidade em rpm: \omega = \frac{2\pi n}{60}.
  1. Agora calculo E_{\mathrm{N}} (a contra-EMF nominal) usando a queda de tensão na resistência:
E_{\mathrm{N}} = U_{A\mathrm{N}} - I_{A\mathrm{N}} R_A
Substituindo os números (peguei estes números do enunciado):
E_{\mathrm{N}} = 380 - 198\cdot 0,145 = 380 - 28,71 = 351,29\\ \text{V}.
  1. Calculo a velocidade angular nominal \omega_{\mathrm{N}}:
\omega_{\mathrm{N}}=\frac{2\pi n_{\mathrm{N}}}{60}=\frac{2\pi\cdot 1360}{60}=142,477\\ \text{rad/s}.
  1. Determino a constante k_{\Phi_N} a partir de E_N=k_{\Phi_N}\omega_N:
k_{\Phi_N}=\frac{E_{\mathrm{N}}}{\omega_{\mathrm{N}}}=\frac{351,29}{142,477}=2,465\\ \text{(V·s/rad)}.
(Esse k_{\Phi_N} corresponde a k_\Phi com excitação nominal.)
  1. Calculo do conjugado mecânico nominal (usando potência mecânica P_N e \omega_N):
M_{\mathrm{N}}=\frac{P_{\mathrm{N}}}{\omega_{\mathrm{N}}}=\frac{68000}{142,477}=477,32\\ \text{N·m}.
Observação: k_{\Phi_N}I_{A\mathrm{N}}=2,465\cdot198\approx 488{,}08\\ \text{N·m}, que é um pouco maior que M_N porque parte da potência elétrica é perdida (por isso a eficiência é 0{,}89); mas para a relação torque–corrente usamos a fórmula M=k_\Phi I_A.

Passo 3

Parte (a): velocidade do motor com U_A=U_{A\mathrm{N}}=380\\ \text{V}, fluxo nominal e carga 50\% da nominal.
  1. Entendimento: “carga 50% da nominal” significa que o conjugado resistente M é 0{,}5\,M_N. Em regime estacionário o conjugado eletromagnético M_e deve equilibrar o conjugado da carga (vou desprezar variações dinâmicas). Como o fluxo é nominal, k_\Phi=k_{\Phi_N}.
  2. Calculo do conjugado pedido:
M = 0{,}5\,M_N = 0{,}5\cdot 477{,}32 = 238{,}66\\ \text{N·m}.
  1. A partir de M=k_\Phi I_A obtemos a corrente de armadura correspondente:
I_A=\frac{M}{k_{\Phi_N}}=\frac{238{,}66}{2{,}465}=96{,}86\\ \text{A}.
(aprox 97\\ \text{A}; anteriormente usei 99 A quando assumi 50% da corrente — aqui uso a definição correta: 50% do conjugado nominal, que dá essa corrente; se por “50% da carga” se entendesse 50% da corrente, haveria pequena diferença; estou tomando 50% do torque/ carga.)
  1. Agora calculo a contra-EMF em regime:
E = U_A - I_A R_A = 380 - 96{,}86\cdot 0{,}145 = 380 - 14{,}044 = 365{,}956\\ \text{V}.
  1. Finalmente a velocidade angular:
\omega = \frac{E}{k_{\Phi_N}}=\frac{365{,}956}{2{,}465}=148{,}43\\ \text{rad/s}.
E a velocidade em rpm:
n=\frac{60}{2\pi}\omega=\frac{60}{2\pi}\cdot 148{,}43 = 1418{,}1\\ \text{rpm}.
Comentário didático: quando a carga diminui, a corrente de armadura diminui, a queda I_A R_A diminui, logo a contra-EMF E aumenta (para U_A fixo) e a máquina acelera até que E=k_\Phi\omega corresponda à nova condição.

Passo 4

Parte (b): tensão da armadura U_A para que com 50\% da carga a velocidade seja a nominal.
  1. Queremos n=n_N (logo \omega=\omega_N) com M=0{,}5 M_N e fluxo nominal ( k_\Phi=k_{\Phi_N}). Já calculamos que para M=0{,}5 M_N a corrente requerida é I_A=96{,}86\\ \text{A}.
  2. A contra-EMF a essa velocidade é a nominal E_N=351{,}29\\ \text{V}. Então a tensão de armadura necessária é
U_A = E_N + I_A R_A = 351{,}29 + 96{,}86\cdot 0{,}145 = 351{,}29 + 14{,}044 = 365{,}334\\ \text{V}.
Interpretação: para manter a mesma velocidade com menor torque, basta reduzir a tensão de armadura de 380\\ \text{V} para \approx 365{,}3\\ \text{V} (assim a máquina não acelera).

Passo 5

Parte (c): calcular U_A para n=0{,}4 (40% da velocidade nominal) e M=0{,}7 (70% do conjugado nominal). Vou explicar passo a passo.
  1. Velocidade angular pedida:
\omega = 0{,}4\,\omega_N = 0{,}4\cdot 142{,}477 = 56{,}991\\ \text{rad/s}.
  1. Conjugado pedido:
M = 0{,}7\,M_N = 0{,}7\cdot 477{,}32 = 334{,}12\\ \text{N·m}.
  1. Corrente de armadura correspondente (com fluxo nominal):
I_A = \frac{M}{k_{\Phi_N}}=\frac{334{,}12}{2{,}465}=135{,}56\\ \text{A}.
  1. Contra-EMF correspondente à velocidade:
E = k_{\Phi_N}\omega = 2{,}465\cdot 56{,}991 = 140{,}56\\ \text{V}.
  1. Finalmente a tensão de armadura necessária:
U_A = E + I_A R_A = 140{,}56 + 135{,}56\cdot 0{,}145 = 140{,}56 + 19{,}66 = 160{,}22\\ \text{V}.
Comentários: portanto para rodar bem lento (40% da velocidade) e com 70% do torque nominal, a tensão de armadura necessária é bem menor que a nominal.

Passo 6

Parte (d): calcular M e a redução de fluxo para operação com n=3600\\ \text{rpm}, sabendo que até essa velocidade a máquina entrega potência nominal P_N (ou seja, P=68\\ \text{kW} a 3600 rpm). Aqui entra enfraquecimento de campo.
  1. Velocidade angular em 3600 rpm:
\omega = \frac{2\pi\cdot 3600}{60}=376{,}991\\ \text{rad/s}.
  1. Para entregar potência P_N a essa velocidade, o conjugado requerido é
M = \frac{P_N}{\omega} = \frac{68000}{376{,}991} = 180{,}43\\ \text{N·m}.
  1. Agora precisamos da redução de fluxo r=\dfrac{\Phi}{\Phi_N} (que corresponde a k_\Phi/k_{\Phi_N}). A máquina é alimentada por U_A=380\\ \text{V} e a relação de equilíbrio é:
U_A = E + I_A R_A = k_\Phi\omega + \frac{M}{k_\Phi}R_A.
Escrevendo k_\Phi = r\,k_{\Phi_N}, obtemos a equação em r:
U_A = r\,k_{\Phi_N}\omega + \frac{M}{r\,k_{\Phi_N}}R_A.
Isso é uma equação do tipo A r + B/r = U_A (multiplicando por r dá quadrática). Vou resolver explicitamente (método prático recomendado em prova).
  1. Calculando os coeficientes:
A = k_{\Phi_N}\omega = 2{,}465\cdot 376{,}991 = 929{,}09,
B = \frac{M R_A}{k_{\Phi_N}} = \frac{180{,}43\cdot 0{,}145}{2{,}465} = 10{,}61.
A equação quadrática em r é:
A r^2 - U_A r + B = 0.
Substituindo números:
929{,}09\\ r^2 - 380\\ r + 10{,}61 = 0.
  1. Resolvo a quadrática (fórmula de Bhaskara). O discriminante:
\Delta = 380^2 - 4\cdot 929{,}09\cdot 10{,}61 \approx 104991{,}6.
\sqrt{\Delta}\approx 324{,}09.
As raízes:
r=\frac{380\pm 324{,}09}{2\cdot 929{,}09}.
A solução fisicamente aceitável é a maior (a muito pequena corresponderia a um fluxo quase nulo e não é prática):
r=\frac{380+324{,}09}{1858{,}18}=0{,}379\\ (\text{aprox.}).
  1. Interpretação: a redução de fluxo é aproximadamente r\approx 0{,}379, isto é \Phi\approx 37{,}9\%\\ \Phi_N.
Resumo do item (d): M\approx 180{,}43\\ \text{N·m} e redução de fluxo r\approx 0{,}379.

Passo 7

Parte (e): para n=3900\\ \text{rpm} e potência disponível P=60\\ \text{kW}: calcular M, corrente de armadura e redução de fluxo. Aqui também devemos impor a tensão de armadura máxima U_A=380\\ \text{V} e encontrar r e I_A.
  1. Velocidade angular:
\omega=\frac{2\pi\cdot 3900}{60}=408{,}407\\ \text{rad/s}.
  1. Conjugado correspondente à potência 60\\ \text{kW} nessa velocidade:
M=\frac{P}{\omega}=\frac{60000}{408{,}407}=147{,}00\\ \text{N·m}.
  1. Montamos a mesma equação de antes com k_\Phi=r\,k_{\Phi_N}:
U_A = r\,k_{\Phi_N}\omega + \frac{M}{r\,k_{\Phi_N}}R_A.
Calculo dos coeficientes:
A = k_{\Phi_N}\omega = 2{,}465\cdot 408{,}407 = 1006{,}80,
B = \frac{M R_A}{k_{\Phi_N}} = \frac{147{,}00\cdot 0{,}145}{2{,}465}=8{,}648.
Quadrática:
1006{,}80\\ r^2 - 380\\ r + 8{,}648 = 0.
  1. Resolvo a quadrática:
\Delta = 380^2 - 4\cdot 1006{,}80\cdot 8{,}648 \approx 109558{,}1,\qquad \sqrt{\Delta}\approx 330{,}91.
r=\frac{380\pm 330{,}91}{2\cdot 1006{,}80}.
A solução prática é
r=\frac{380+330{,}91}{2013{,}60}=0{,}353.
  1. Corrente de armadura correspondente (usando M=k_\Phi I_A):
I_A=\frac{M}{k_\Phi}=\frac{M}{r\,k_{\Phi_N}}=\frac{147{,}00}{0{,}353\cdot 2{,}465}=168{,}7\\ \text{A}.
Interpretação: para chegar a 3900 rpm e ainda entregar 60 kW, foi necessário reduzir o fluxo a \approx 35{,}3\% do nominal; a corrente é menor que a nominal, I_A\approx 168{,}7\\ \text{A}.

Passo 8

Parte (f): velocidade em vazio do motor (assumindo excitação nominal e U_A=380\\ \text{V}).
  1. Em vazio a corrente de armadura é praticamente zero ( I_A\approx 0), logo a queda I_A R_A é desprezível e U_A \approx E. Assim:
\omega_0 = \frac{U_A}{k_{\Phi_N}} = \frac{380}{2{,}465} = 154{,}16\\ \text{rad/s}.
  1. Convertendo para rpm:
n_0 = \frac{60}{2\pi}\omega_0 = \frac{60}{2\pi}\cdot 154{,}16 = 1474{,}0\\ \text{rpm}.
Explicação curta: sem carga, quase não há queda na resistência, então a contra-EMF praticamente iguala a tensão aplicada; a velocidade aumenta até que isso ocorra.

Resposta

a) n \approx 1418{,}1\\ \text{rpm}.
b) U_A \approx 365{,}33\\ \text{V}.
c) U_A \approx 160{,}22\\ \text{V}.
d) M \approx 180{,}43\\ \text{N·m} e redução de fluxo r=\dfrac{\Phi}{\Phi_N}\approx 0{,}379.
e) M \approx 147{,}00\\ \text{N·m}; I_A \approx 168{,}7\\ \text{A}; redução de fluxo r\approx 0{,}353.
f) n_0 \approx 1474{,}0\\ \text{rpm}.

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