Um motor de 900 \mathrm{~kW}, 600 \mathrm{~V}, 1590 \mathrm{~A}, \mathrm{R}_{\mathrm{AN}}=0,01 \Omega, \mathrm{n}_{\mathrm{N}}=1200 \mathrm{rpm} deve acionar uma carga do tipo conjugado constante e igual ao nominal do motor. Desta forma:
a) calcule o conjugado e a corrente nominal;
b) as constantes \mathrm{C} \phi_{\mathrm{N}} e V;
c) se \varphi=\phi_{N}, calcule U para que \mathrm{n}=0,75 \mathrm{n}_{\mathrm{N}};
d) qual será \varphi se \mathrm{n}=2000 \mathrm{rpm}, sabendo-se que a potência e a tensão de armadura são as nominais;
e) se a corrente de armadura deve ser a nominal, qual será \varphi nas mesmas condições do item d ?
f) qual é a potência mecânica para o caso do item e?
g) se M=M_{N}, qual será I_{A} para n=2000 \mathrm{rpm} e U=U_{A N} ?
h) Qual a carga admissível para corrente nominal e \mathrm{n}=2000 \mathrm{rpm} ?
i) para M=0,5 M_{N} e n=0,8 n_{N}, qual é a tensão de armadura necessária?
j) qual a velocidade se \mathrm{M}=0,75 \mathrm{M}_{\mathrm{N}}, \varphi=\phi_{\mathrm{N}} e \mathrm{U}=\mathrm{U}_{\mathrm{AN}} ?
k) qual a tensão de armadura, M=0,75 M_{N}, \varphi=\phi_{N} e n=n_{N} ?
l) qual a velocidade máxima quando \mathrm{M}=0,8 \mathrm{M}_{\mathrm{N}} e \mathrm{I}_{\mathrm{A}}=\mathrm{I}_{\mathrm{AN}} ?
m) qual é o rendimento para as condições do item k?

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que cada item pede (peguei todos os números do enunciado).
Dados fornecidos:
  • Potência nominal: P_{N}=900\\ \mathrm{kW}=900\,000\\ \mathrm{W}.
  • Tensão de armadura nominal: U_{AN}=600\\ \mathrm{V}.
  • Corrente de armadura nominal: I_{AN}=1590\\ \mathrm{A}.
  • Resistência de armadura: R_{AN}=0{,}01\\ \Omega.
  • Velocidade nominal: n_{N}=1200\\ \mathrm{rpm}.
  • A carga é “conjugado constante e igual ao nominal do motor” (em alguns itens a carga muda conforme indicado).
O que o enunciado pede (sumarizado por letra):
a) Calcular o conjugado (torque) nominal M_N e a corrente nominal (já dada).
b) Calcular as constantes C\phi_{N} (constante de torque com fluxo nominal) e V (constante de tensão/velocidade).
c) Com \varphi=\phi_{N}, achar U para que n=0{,}75\,n_{N} quando a carga é M=M_N.
d) Se n=2000\\ \mathrm{rpm} e sabendo que a potência e a tensão de armadura são as nominais, encontrar \varphi.
e) Nas mesmas condições do item d), mas agora impondo I_A=I_{AN}, encontrar \varphi.
f) Para o caso do item e), qual a potência mecânica?
g) Se M=M_N, qual será I_A para n=2000\\ \mathrm{rpm} e U=U_{AN}?
h) Para I_A=I_{AN} e n=2000\\ \mathrm{rpm}, qual é a carga admissível (torque e potência)?
i) Para M=0{,}5\,M_N e n=0{,}8\,n_N, qual é a tensão de armadura necessária (assumir \varphi=\phi_N se não indicado)?
j) Qual a velocidade se M=0{,}75\,M_N, \varphi=\phi_N e U=U_{AN}?
k) Qual a tensão de armadura se M=0{,}75\,M_N, \varphi=\phi_N e n=n_N?
l) Qual a velocidade máxima quando M=0{,}8\,M_N e I_A=I_{AN} (assumir U=U_{AN})?
m) Qual o rendimento para as condições do item (k)?
Observações úteis que vou usar (vão aparecer nas contas):
  • Relação potência mecânica e torque: P = M \,\omega onde \omega é a velocidade angular em \mathrm{rad/s} e \omega = 2\pi \dfrac{n}{60}.
  • Equações elétricas do motor de corrente contínua (modelo clássico): U = E + R_A I_A, \qquad E = (C\varphi)\,\omega, \qquad M = (C\varphi)\,I_A.Aqui C\varphi é a constante que multiplica I_A para dar o torque e também multiplica \omega para dar a FEM E.
  • Vou definir também uma constante de velocidade medida em \mathrm{V/rpm}: \displaystyle V_N=\dfrac{E_{AN}}{n_N}, com E_{AN}=U_{AN}-R_{AN}I_{AN}. Isso facilita contas envolvendo n em rpm.

Passo 2

Calcular quantidades básicas: velocidade angular nominal, torque nominal e FEM nominal.
  1. Velocidade angular nominal:
\omega_{N}=2\pi\frac{n_{N}}{60}=2\pi\frac{1200}{60}=2\pi\cdot20 = 40\pi\\ \mathrm{rad/s}\approx125{,}6637\\ \mathrm{rad/s}.
  1. Torque nominal (assumindo P_N como potência mecânica útil no eixo):
M_{N}=\frac{P_{N}}{\omega_{N}}=\frac{900\,000}{40\pi}\\ \mathrm{N\cdot m}.
Calculemos numericamente:
M_{N}=\frac{900\,000}{125{,}6637}\approx7161{,}97\\ \mathrm{N\cdot m}.
  1. FEM (força eletromotriz) nominal usando E_{AN}=U_{AN}-R_{AN}I_{AN}:
E_{AN}=600 - 0{,}01\cdot1590 = 600 - 15{,}9 = 584{,}1\\ \mathrm{V}.

Passo 3

Item (a): torque e corrente nominal.
  • O torque nominal será o calculado no passo anterior:
\boxed{M_{N}=7161{,}97\\ \mathrm{N\cdot m}.}
  • A corrente nominal está dada no enunciado:
\boxed{I_{AN}=1590\\ \mathrm{A}.}
(Anima: já temos o torque que a carga nominal exige.)

Passo 4

Item (b): calcular as constantes C\phi_{N} e V.
Explicação do que são:
  • C\phi_{N} é a constante de torque com fluxo nominal; relaciona torque e corrente: M = (C\varphi) I_A. Para fluxo nominal: C\phi_N = M_N / I_{AN}.
  • V (constante de velocidade) definirei aqui como V_N=\dfrac{E_{AN}}{n_N} em \mathrm{V/rpm} (muito usado em prática), e também menciono a forma por rad/s k_e = \dfrac{E_{AN}}{\omega_N} (unidade \mathrm{V\cdot s/rad}).
Cálculos:
C\phi_{N}=\frac{M_{N}}{I_{AN}}=\frac{7161{,}97}{1590}\approx4{,}5037\\ \mathrm{N\cdot m/A}.
V_N=\frac{E_{AN}}{n_N}=\frac{584{,}1}{1200}\approx0{,}48675\\ \mathrm{V/rpm}.
Ou, em rad/s,
k_e=\frac{E_{AN}}{\omega_N}=\frac{584{,}1}{40\pi}\approx4{,}649\\ \mathrm{V\cdot s/rad}.
Portanto:
\boxed{C\phi_{N}\approx4{,}5037\\ \mathrm{N\cdot m/A},\quad V_N\approx0{,}48675\\ \mathrm{V/rpm}\\ (k_e\approx4{,}649\\ \mathrm{V\,s/rad}).}

Passo 5

Item (c): com \varphi=\phi_N, calcular U para obter n=0{,}75\,n_N quando a carga é M=M_N.
Raciocínio:
  • Com \varphi=\phi_N e carga M_N, a corrente será I_A = M_N/(C\phi_N) = I_{AN} (isso é direto porque definimos C\phi_N a partir de M_N e I_{AN}). Então I_A=1590\\ \mathrm{A}.
  • Para n=0{,}75 n_N: n = 0{,}75\cdot1200 = 900\\ \mathrm{rpm}. Convertendo para \omega se precisar: \omega=2\pi\cdot900/60=30\pi\\ \mathrm{rad/s}.
  • A FEM correspondente é E = k_e \omega ou usando V_N em rpm: E = V_N \cdot n.
    Calculemos:
E = V_N \cdot n = 0{,}48675\cdot900 = 438{,}075\\ \mathrm{V}.
  • A tensão de armadura necessária é U = E + R_{AN} I_A:
U = 438{,}075 + 0{,}01\cdot1590 = 438{,}075 + 15{,}9 = 453{,}975\\ \mathrm{V}.
Arredondando razoavelmente:
\boxed{U\approx454{,}0\\ \mathrm{V}.}

Passo 6

Item (d): \varphi quando n=2000\\ \mathrm{rpm}, sabendo que a potência (mecânica) e a tensão de armadura são nominais ( P=P_N e U=U_{AN}).
Método (explico bem devagar):
  • Com P_N fixo e n=2000\\ \mathrm{rpm}, o torque requerido é M=\frac{P_N}{\omega},\quad\text{com }\omega=2\pi\frac{2000}{60}=\frac{200\pi}{3}\\ \mathrm{rad/s}.Calculando: \omega=209{,}4395\\ \mathrm{rad/s},\qquad M=\frac{900\,000}{209{,}4395}\approx4296{,}93\\ \mathrm{N\cdot m}.
  • Vamos usar duas equações do motor com variável de fluxo \varphi. Definimos x=\dfrac{\varphi}{\phi_N} (relação do fluxo com o fluxo nominal). Então: \text{(1) } U = V_N\,(x n) + R_{AN} I_A \quad\text{(lembre: }E=V_N x n\text{)}
\text{(2) } M = (C\phi_N)\, x\, I_A.
Eliminamos I_A: I_A=\dfrac{M}{C\phi_N x}. Substituindo em (1):
U = V_N n x + R_{AN}\frac{M}{C\phi_N x}.
Multiplicando por x:
V_N n x^2 - U x + \frac{R_{AN} M}{C\phi_N}=0.
É uma quadrática em x.
  • Agora substituímos os números: V_N n = 0{,}48675\cdot2000 = 973{,}5,
\frac{R_{AN} M}{C\phi_N} = \frac{0{,}01\cdot4296{,}93}{4{,}5037}\approx9{,}542.
Então a equação:
973{,}5\,x^2 - 600\,x + 9{,}542 = 0.
  • Resolvendo a quadrática ( \Delta = 600^2 - 4\cdot973{,}5\cdot9{,}542): \Delta \approx 322842{,}612,\qquad \sqrt{\Delta}\approx568{,}174.
x=\frac{600\pm568{,}174}{2\cdot973{,}5}.
As duas raízes são x\approx0{,}6 e x\approx0{,}01635. A raiz fisicamente plausível é a maior (fluxo não vai cair até praticamente zero). Assim:
x\approx0{,}6 \quad\Rightarrow\quad \varphi\approx0{,}6\,\phi_N.
Portanto:
\boxed{\varphi\approx0{,}6\,\phi_N.}

Passo 7

Item (e): se a corrente de armadura deve ser a nominal ( I_A=I_{AN}), qual será \varphi nas mesmas condições do item (d) (ou seja n=2000\\ \mathrm{rpm} e U=U_{AN})?
Raciocínio direto:
  • Com I_A=I_{AN}, use a equação U = V_N\,x\,n + R_{AN} I_{AN}. Isolando x: x = \frac{U - R_{AN} I_{AN}}{V_N n} = \frac{E_{AN}}{V_N n}.
  • Numericamente: U - R_{AN} I_{AN} = 600 - 15{,}9 = 584{,}1,
V_N n = 0{,}48675\cdot2000 = 973{,}5,
x = \frac{584{,}1}{973{,}5} = 0{,}6.
Logo \varphi = 0{,}6\,\phi_N.
Observação: interessante que este resultado coincide com o item (d) — isto mostra que, para manter a mesma potência P_N a 2000 rpm com U=U_{AN}, a corrente resultante era igual à nominal; por isso (d) e (e) dão o mesmo \varphi.
Resposta:
\boxed{\varphi=0{,}6\,\phi_N.}

Passo 8

Item (f): qual é a potência mecânica para o caso do item (e)?
No item (e) impusemos I_A=I_{AN}, n=2000\\ \mathrm{rpm}, U=U_{AN} e achamos \varphi=0{,}6\phi_N. O torque correspondente (usando M=(C\phi_N)x I) é:
M = C\phi_N \cdot x \cdot I_{AN} = 4{,}5037\cdot0{,}6\cdot1590 \approx4296{,}93\\ \mathrm{N\cdot m}.
A potência mecânica:
P = M\omega = 4296{,}93\cdot209{,}4395\approx900\,000\\ \mathrm{W}.
Ou seja dá exatamente a potência nominal (por construção do problema).
Portanto:
\boxed{P=900\\ \mathrm{kW}.}

Passo 9

Item (g): se M=M_N, qual será I_A para n=2000\\ \mathrm{rpm} e U=U_{AN}?
Montagem das equações (método explicado):
  • Temos M_N fixo e queremos I_A com n e U dados. Com x=\varphi/\phi_N desconhecido, as equações são
    M_N = C\phi_N\,x\,I_A \quad\Rightarrow\quad x=\frac{M_N}{C\phi_N I_A}=\frac{I_{AN}}{I_A}\quad(\text{porque }M_N=C\phi_NI_{AN}).
    Substituindo em U = V_N x n + R_{AN} I_A:
    U = V_N n \frac{I_{AN}}{I_A} + R_{AN} I_A.
    Multiplicando por I_A:
    R_{AN} I_A^2 - U I_A + V_N n I_{AN} = 0.
    É uma quadrática em I_A.
  • Substituindo números:
    R_{AN}=0{,}01,\quad U=600,\quad V_N n = 973{,}5,\quad I_{AN}=1590.
    Assim a constante é V_N n I_{AN}=973{,}5\cdot1590=1\,547\,865.
    A equação:
    0{,}01 I_A^2 - 600 I_A + 1\,547\,865 = 0.
    Calculamos o discriminante:
    \Delta = 600^2 - 4\cdot0{,}01\cdot1\,547\,865 \approx 298\,085{,}4,
\sqrt{\Delta}\approx546{,}88.
Solução física (a menor das duas raízes positivas):
I_A=\frac{600 - 546{,}88}{2\cdot0{,}01}=\frac{53{,}12}{0{,}02}\approx2656\\ \mathrm{A}.
Portanto:
\boxed{I_A\approx2656\\ \mathrm{A}.}
(Comentário: o valor é maior que o nominal porque, a 2000 rpm com a mesma tensão, a FEM tende a aumentar e para produzir o mesmo torque o motor precisa reduzir fluxo — o que, com U fixo, implica maior corrente.)

Passo 10

Item (h): qual é a carga admissível para corrente nominal e n=2000\\ \mathrm{rpm} ?
Interpreto “carga admissível” como o torque e a potência que o motor pode fornecer quando I_A=I_{AN}, n=2000\\ \mathrm{rpm} e U=U_{AN} (condição usada nos itens anteriores).
Já calculamos isso ao responder (e) e (f):
  • Para I_A=I_{AN}=1590\\ \mathrm{A} e n=2000\\ \mathrm{rpm} com U=600\\ \mathrm{V} resulta x=0{,}6 e M = C\phi_N\cdot x \cdot I_{AN}\approx4296{,}93\\ \mathrm{N\cdot m}.
  • Potência mecânica: P = M\omega = 4296{,}93 \cdot 209{,}4395 \approx 900\,000\\ \mathrm{W}.
Portanto a carga admissível (torque e potência):
\boxed{M\approx4296{,}93\\ \mathrm{N\cdot m},\quad P\approx900\\ \mathrm{kW}.}

Passo 11

Item (i): para M=0{,}5\,M_N e n=0{,}8\,n_N, qual é a tensão de armadura necessária? (assumindo \varphi=\phi_N se não indicado)
Método:
  • Com \varphi=\phi_N, M = C\phi_N I_A \Rightarrow I_A = M/(C\phi_N).
  • Em seguida U = V_N n + R_{AN} I_A, pois x=1.
Cálculo:
  • M=0{,}5 M_N = 0{,}5\cdot7161{,}97 = 3580{,}985\\ \mathrm{N\cdot m}.
  • I_A = \dfrac{3580{,}985}{4{,}5037}\approx795{,}0\\ \mathrm{A}.
  • n=0{,}8 n_N = 0{,}8\cdot1200 = 960\\ \mathrm{rpm}.
  • V_N n = 0{,}48675\cdot960 = 467{,}52\\ \mathrm{V}.
  • Assim U = 467{,}52 + 0{,}01\cdot795{,}0 \approx 467{,}52 + 7{,}95 = 475{,}47\\ \mathrm{V}.
Portanto:
\boxed{U\approx475{,}5\\ \mathrm{V}.}

Passo 12

Item (j): qual a velocidade se M=0{,}75\,M_N, \varphi=\phi_N e U=U_{AN}?
Procedimento:
  • Com \varphi=\phi_N, a corrente necessária é I_A = \dfrac{M}{C\phi_N} = 0{,}75\,I_{AN}=0{,}75\cdot1590=1192{,}5\\ \mathrm{A}.
  • A FEM E = U - R_{AN} I_A = 600 - 0{,}01\cdot1192{,}5 = 600 - 11{,}925 = 588{,}075\\ \mathrm{V}.
  • Como E = V_N n (para \varphi=\phi_N), então n=\frac{E}{V_N}=\frac{588{,}075}{0{,}48675}\approx1209{,}6\\ \mathrm{rpm}.
Resposta:
\boxed{n\approx1209{,}6\\ \mathrm{rpm}.}

Passo 13

Item (k): qual a tensão de armadura U para M=0{,}75\,M_N, \varphi=\phi_N e n=n_N ?
Método direto:
  • I_A = 0{,}75 I_{AN} = 1192{,}5\\ \mathrm{A}.
  • Em n=n_N, E=E_{AN}=584{,}1\\ \mathrm{V}.
  • Logo U = E + R_{AN} I_A = 584{,}1 + 0{,}01\cdot1192{,}5 = 584{,}1 + 11{,}925 = 596{,}025\\ \mathrm{V}.
Arredondando:
\boxed{U\approx596{,}0\\ \mathrm{V}.}

Passo 14

Item (l): qual a velocidade máxima quando M=0{,}8\,M_N e I_A=I_{AN} ? (assumir U=U_{AN})
Procedimento:
  • Queremos n tal que, com I_A=I_{AN} e M=0{,}8 M_N, a equação U = V_N x n + R_{AN} I_{AN} seja satisfeita, onde x=\varphi/\phi_N.
  • Primeiro encontramos x pela relação do torque: M = C\phi_N\, x\, I_{AN}\\ \Rightarrow\\ x = \frac{M}{C\phi_N I_{AN}} = \frac{0{,}8 M_N}{M_N} = 0{,}8.(Pois M_N=C\phi_N I_{AN}.)
  • Então n = \dfrac{U - R_{AN} I_{AN}}{V_N x} = \dfrac{584{,}1}{0{,}48675\cdot0{,}8}.
  • Calculando: 0{,}48675\cdot0{,}8=0{,}3894,\qquad n=\frac{584{,}1}{0{,}3894}\approx1500\\ \mathrm{rpm}.
Portanto velocidade máxima:
\boxed{n_{\max}\approx1500\\ \mathrm{rpm}.}

Passo 15

Item (m): qual é o rendimento para as condições do item (k)? (usamos os valores do item k: M=0{,}75 M_N,\\ \varphi=\phi_N,\\ n=n_N,\\ U calculado em (k))
Dados recolhidos do item (k):
  • M=0{,}75 M_N\Rightarrow P_{\text{mech}}=0{,}75\cdot P_N = 0{,}75\cdot900\\ \mathrm{kW}=675\\ \mathrm{kW}.
  • I_A=0{,}75 I_{AN}=1192{,}5\\ \mathrm{A}.
  • U calculado em (k): U\approx596{,}025\\ \mathrm{V}.
  • Perdas consideradas aqui: perdas ôhmicas na armadura P_{\text{Cu}}=I_A^2 R_{AN}. (O enunciado não fornece outras perdas explícitas; suponho que o restante das perdas não óhmicas sejam desprezadas ou embutidas na diferença entre potência elétrica e mecânica; usarei apenas P_{\text{in}}=U I_A e P_\text{out}=P_{\text{mech}}.)
Cálculo:
  • Potência de entrada: P_{\text{in}}=U I_A \approx596{,}025\cdot1192{,}5\approx710\,759{,}8\\ \mathrm{W}.
  • Potência útil (mecânica): P_{\text{mech}}=675\,000\\ \mathrm{W}.
  • Eficiência: \eta=\frac{P_{\text{mech}}}{P_{\text{in}}}=\frac{675\,000}{710\,759{,}8}\approx0{,}9496\approx94{,}96\%.
Portanto:
\boxed{\eta\approx94{,}96\%.}

Resposta

(a) M_{N}=7161{,}97\\ \mathrm{N\cdot m}
I_{AN}=1590\\ \mathrm{A}
(b) C\phi_{N}\approx4{,}5037\\ \mathrm{N\cdot m/A}
V_N\approx0{,}48675\\ \mathrm{V/rpm} (k_e\approx4{,}649\\ \mathrm{V\cdot s/rad})
(c) U\approx453{,}975\\ \mathrm{V} (aprox. 454{,}0\\ \mathrm{V})
(d) \varphi\approx0{,}6\,\phi_{N}
(e) \varphi\approx0{,}6\,\phi_{N}
(f) P=900\\ \mathrm{kW}
(g) I_A\approx2656\\ \mathrm{A}
(h) M\approx4296{,}93\\ \mathrm{N\cdot m},\quad P\approx900\\ \mathrm{kW}
(i) U\approx475{,}47\\ \mathrm{V} (aprox. 475{,}5\\ \mathrm{V})
(j) n\approx1209{,}6\\ \mathrm{rpm}
(k) U\approx596{,}025\\ \mathrm{V} (aprox. 596{,}0\\ \mathrm{V})
(l) n_{\max}\approx1500\\ \mathrm{rpm}
(m) \eta\approx94{,}96\%

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