Um guarda de trânsito vistoriou 200 carros em um bairro de uma cidade e constatou que 25 motoristas não estavam usando o cinto de segurança no momento da vistoria. Determine um intervalo de confiança de 95 \% para a proporção de motoristas que usam regularmente o cinto de segurança neste bairro.

Passo 1

Vou organizar o que o enunciado nos deu e o que ele pede. Dados fornecidos:\n
Amostra de tamanho n=200.\n
Foram observados 25 motoristas sem cinto no momento da vistoria (peguei esse número do enunciado).\n
Pergunta: determinar um intervalo de confiança de 95\% para a proporção de motoristas que usam regularmente o cinto de segurança neste bairro.\n
Informação implícita que uso: o número de motoristas que usam cinto na amostra é 175 (porque 200-25=175).\n

Passo 2

Decidindo o método: para estimar um intervalo de confiança para uma proporção usamos, em provas de graduação, a aproximação normal (intervalo de Wald) quando a amostra é grande o suficiente. Vou usar essa abordagem porque é a mais básica e geralmente exigida em provas práticas. Antes de aplicar, verifico a condição de validade: precisamos que n\hat p e n(1-\hat p) sejam ambos maiores ou iguais a 5 (isso garante que a aproximação normal ao binomial é razoável). Vou fazer essa verificação explicitamente mais adiante.\n

Passo 3

Apresentando a fórmula e explicando os termos (mini-aula básica):\n
A fórmula do intervalo de confiança de nível 1-\alpha (aqui 95\%, então \alpha=0,05) para a proporção verdadeira p usando a aproximação normal é\n \hat p \pm z_{\alpha/2}\sqrt{\frac{\hat p(1-\hat p)}{n}}.
Explicando cada símbolo:\n
  • \hat p é a proporção observada na amostra (estimador pontual de p).\n
  • z_{\alpha/2} é o quantil da distribuição normal padrão tal que a área à direita é \alpha/2. Para 95\% de confiança, z_{0,025}\approx 1,96.\n
  • \sqrt{\dfrac{\hat p(1-\hat p)}{n}} é o erro padrão (desvio padrão) da distribuição amostral de \hat p. A razão é que, para uma amostra binomial grande, \mathrm{Var}(\hat p)\approx \dfrac{p(1-p)}{n} e substituímos p por \hat p na prática.\n
    Conceito: a ideia é que \hat p varia em torno de p com desvio típico dado pelo erro padrão; multiplicando esse desvio por z obtemos uma margem para construir o intervalo que, em muitas repetições, conterá o verdadeiro p em 95\% das vezes.\n

Passo 4

Calculemos a proporção amostral \hat p.\n
O número que usa cinto na amostra é 175 (peguei do enunciado). Logo\n \hat p=\frac{175}{200}=0{,}875.\n

Passo 5

Verificação das condições de validade da aproximação normal:\n
Calculo n\hat p e n(1-\hat p):\n
n\hat p = 200 \times 0{,}875 = 175,\n
n(1-\hat p)=200\times 0{,}125 = 25.\n
Ambos são maiores que 5, portanto a aproximação normal é adequada para usar a fórmula do Passo 3.\n

Passo 6

Calcule o erro padrão (passo a passo, sem pular contas):\n
Primeiro calculo \hat p(1-\hat p):\n \hat p(1-\hat p)=0{,}875\times 0{,}125=0{,}109375.\n
Agora divido por n:\n \frac{\hat p(1-\hat p)}{n}=\frac{0{,}109375}{200}=0{,}000546875.\n
Finalmente, o erro padrão é a raiz quadrada:\n \sqrt{\frac{\hat p(1-\hat p)}{n}}=\sqrt{0{,}000546875}\approx 0{,}023383.\n
(Usei raiz quadrada passo a passo: a ideia é que você consegue aproximar na prova com calculadora ou tabelas; se fizer sem calculadora, arredonde com cuidado.)\n

Passo 7

Obtenção do valor crítico z_{\alpha/2} para 95\%:\n
Para nível de confiança 95\% temos \alpha=0{,}05 e \alpha/2=0{,}025. O quantil correspondente da normal padrão é\n z_{0{,}025}\approx 1{,}96.\n
Esse valor é padrão e normalmente memorizado em provas. Agora calculamos a margem de erro:\n \text{margem} = z_{0{,}025}\times \text{erro padrão} = 1{,}96\times 0{,}023383\approx 0{,}045865.ã\n

Passo 8

Agora obtenho os extremos do intervalo somando e subtraindo a margem de erro a \hat p:\n
Limite inferior:\n \hat p - \text{margem} = 0{,}875 - 0{,}045865 \approx 0{,}829135.\n
Limite superior:\n \hat p + \text{margem} = 0{,}875 + 0{,}045865 \approx 0{,}920865.\n
Arredondando numa forma agradável para relatar (por exemplo, três casas decimais): intervalos finais aproximados são 0{,}829 a 0{,}921.\n

Passo 9

Interpretação (mini-aula interpretativa e incentivo):\n
O resultado significa que, com 95\% de confiança, a proporção verdadeira de motoristas que usam regularmente o cinto de segurança neste bairro está entre aproximadamente 82{,}9\% e 92{,}1\%.\n
Você fez bem em confiar neste método básico — em provas normalmente aceitam essa construção. Se quiser uma aproximação mais refinada (método de Wilson), dá resultados parecidos; usei o método Wald por ser o mais direto e o pedido é um intervalo de confiança padrão.\n
Força aí — já conseguimos o intervalo and you rocked it! 😊\n

Resposta

0{,}829 a 0{,}921

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