Um guarda de trânsito vistoriou 200 carros em um bairro de uma cidade e constatou que 25 motoristas não estavam usando o cinto de segurança no momento da vistoria. Determine um intervalo de confiança de
para a proporção de motoristas que usam regularmente o cinto de segurança neste bairro.
Passo 1
Vou organizar o que o enunciado nos deu e o que ele pede. Dados fornecidos:\n
Amostra de tamanho .\n
Foram observados motoristas sem cinto no momento da vistoria (peguei esse número do enunciado).\n
Pergunta: determinar um intervalo de confiança de para a proporção de motoristas que usam regularmente o cinto de segurança neste bairro.\n
Informação implícita que uso: o número de motoristas que usam cinto na amostra é (porque
).\n
Amostra de tamanho
Foram observados
Pergunta: determinar um intervalo de confiança de
Informação implícita que uso: o número de motoristas que usam cinto na amostra é
Passo 2
Decidindo o método: para estimar um intervalo de confiança para uma proporção usamos, em provas de graduação, a aproximação normal (intervalo de Wald) quando a amostra é grande o suficiente. Vou usar essa abordagem porque é a mais básica e geralmente exigida em provas práticas. Antes de aplicar, verifico a condição de validade: precisamos que
e
sejam ambos maiores ou iguais a
(isso garante que a aproximação normal ao binomial é razoável). Vou fazer essa verificação explicitamente mais adiante.\n
Passo 3
Apresentando a fórmula e explicando os termos (mini-aula básica):\n
A fórmula do intervalo de confiança de nível
(aqui
, então
) para a proporção verdadeira
usando a aproximação normal é\n
Explicando cada símbolo:\n
-
é a proporção observada na amostra (estimador pontual de ).\n -
é o quantil da distribuição normal padrão tal que a área à direita é . Para de confiança, .\n -
é o erro padrão (desvio padrão) da distribuição amostral de . A razão é que, para uma amostra binomial grande, e substituímos por na prática.\n
Conceito: a ideia é quevaria em torno de com desvio típico dado pelo erro padrão; multiplicando esse desvio por obtemos uma margem para construir o intervalo que, em muitas repetições, conterá o verdadeiro em das vezes.\n
Passo 4
Calculemos a proporção amostral
.\n
O número que usa cinto na amostra é
(peguei do enunciado). Logo\n
\n
Passo 5
Verificação das condições de validade da aproximação normal:\n
Calculo e
:\n
Calculo
Ambos são maiores que
, portanto a aproximação normal é adequada para usar a fórmula do Passo 3.\n
Passo 6
Calcule o erro padrão (passo a passo, sem pular contas):\n
Primeiro calculo
:\n
\n
Agora divido por
:\n
\n
Finalmente, o erro padrão é a raiz quadrada:\n
\n
(Usei raiz quadrada passo a passo: a ideia é que você consegue aproximar na prova com calculadora ou tabelas; se fizer sem calculadora, arredonde com cuidado.)\n
Passo 7
Obtenção do valor crítico
para
:\n
Para nível de confiança
temos
e
. O quantil correspondente da normal padrão é\n
\n
Esse valor é padrão e normalmente memorizado em provas. Agora calculamos a margem de erro:\n
\n
Passo 8
Agora obtenho os extremos do intervalo somando e subtraindo a margem de erro a
:\n
Limite inferior:\n
\n
Limite superior:\n
\n
Arredondando numa forma agradável para relatar (por exemplo, três casas decimais): intervalos finais aproximados são
a
.\n
Passo 9
Interpretação (mini-aula interpretativa e incentivo):\n
O resultado significa que, com de confiança, a proporção verdadeira de motoristas que usam regularmente o cinto de segurança neste bairro está entre aproximadamente
e
.\n
Você fez bem em confiar neste método básico — em provas normalmente aceitam essa construção. Se quiser uma aproximação mais refinada (método de Wilson), dá resultados parecidos; usei o método Wald por ser o mais direto e o pedido é um intervalo de confiança padrão.\n
Força aí — já conseguimos o intervalo and you rocked it! 😊\n
O resultado significa que, com
Você fez bem em confiar neste método básico — em provas normalmente aceitam essa construção. Se quiser uma aproximação mais refinada (método de Wilson), dá resultados parecidos; usei o método Wald por ser o mais direto e o pedido é um intervalo de confiança padrão.\n
Força aí — já conseguimos o intervalo and you rocked it! 😊\n