Considere uma pesquisa para estimar a proporção de votos de um determinado candidato.
(a) Qual o tamanho necessário de uma amostra para uma margem de erro de 2 \% e confiança de 94 \% ?
(b) Qual o tamanho necessário de uma amostra para uma margem de erro de 3 \% e confiança de 96%?
(c) O que se pode concluir ao analisar as situações (a) e (b)?

Passo 1

O enunciado pede três coisas:
(a) O tamanho da amostra necessário para uma margem de erro de 2\% e nível de confiança de 94\%.
(b) O tamanho da amostra necessário para uma margem de erro de 3\% e nível de confiança de 96\%.
(c) Uma conclusão comparando (a) e (b).
Informações e dados relevantes do enunciado:
  • Margem de erro em (a): 2\%, ou seja E=0,02.
  • Nível de confiança em (a): 94\%, logo \alpha=1-0{,}94=0{,}06 e \alpha/2=0{,}03.
  • Margem de erro em (b): 3\%, ou seja E=0,03.
  • Nível de confiança em (b): 96\%, logo \alpha=1-0{,}96=0{,}04 e \alpha/2=0{,}02.
  • Não foi dado o valor da proporção verdadeira p. Quando p é desconhecido, usamos o valor conservador p=0{,}5 (maximiza a variância e garante amostra suficiente).
  • Assumimos população suficientemente grande para usar aproximação normal da proporção.

Passo 2

Fórmula que vamos usar (explicada passo a passo):
A ideia é que um intervalo de confiança para a proporção tem metade da largura (a margem de erro) dada por
E = z_{\alpha/2}\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}.
Aqui:
  • E é a margem de erro desejada (em decimais, por ex. 0{,}02 para 2\%);
  • z_{\alpha/2} é o quantil da distribuição normal padrão que deixa área \alpha/2 na cauda superior (por ex. z_{0{,}03} para confiança 94\%);
  • p é a proporção verdadeira (desconhecida; usamos p=0{,}5 para ser conservador);
  • n é o tamanho da amostra que queremos encontrar.
Despejando para n:
n = \frac{z_{\alpha/2}^2 \; p(1-p)}{E^2}.
Explicação: a variância estimada da proporção é p(1-p)/n; multiplicando pela constante z_{\alpha/2}^2 e isolando n chegamos à fórmula acima. Usamos p(1-p)=0{,}5\cdot0{,}5=0{,}25 quando aplicamos o valor conservador p=0{,}5.
Observação prática importante: como n deve ser inteiro e precisamos garantir a margem de erro, arredondamos n para cima (teto).

Passo 3

Cálculo para o item (a):
  • E=0{,}02.
  • Confiança 94\% \alpha/2=0{,}03. O quantil da normal padrão com área à direita 0{,}03 tem valor aproximado z_{0{,}03}\approx 1{,}8808. (Isto vem de tabela/funcão inversa da normal: P(Z\le 1{,}8808)\approx 0{,}97.)
    Aplicamos a fórmula com p=0{,}5:
n = \frac{(1{,}8808)^2 \cdot 0{,}25}{(0{,}02)^2}.
Agora as contas passo a passo:
(1{,}8808)^2 \approx 3{,}5374,
3{,}5374 \cdot 0{,}25 = 0{,}88435,
(0{,}02)^2 = 0{,}0004,
n \approx \frac{0{,}88435}{0{,}0004} = 2\,210{,}875.
Arredondando para cima (teto) para garantir a margem de erro:
n = 2\,211.

Passo 4

Cálculo para o item (b):
  • E=0{,}03.
  • Confiança 96\% \alpha/2=0{,}02. O quantil da normal padrão com área à direita 0{,}02 tem valor aproximado z_{0{,}02}\approx 2{,}05375. (Isto vem de tabela/funcão inversa da normal: P(Z\le 2{,}05375)\approx 0{,}98.)
    Aplicamos a fórmula com p=0{,}5:
n = \frac{(2{,}05375)^2 \cdot 0{,}25}{(0{,}03)^2}.
Contas passo a passo:
(2{,}05375)^2 \approx 4{,}2178890625,
4{,}2178890625 \cdot 0{,}25 = 1{,}054472265625,
(0{,}03)^2 = 0{,}0009,
n \approx \frac{1{,}054472265625}{0{,}0009} = 1\,171{,}636962917.
Arredondando para cima:
n = 1\,172.

Passo 5

Interpretação e conclusão (item (c)), explicada de forma didática:
  • A margem de erro E aparece ao quadrado no denominador da fórmula de n. Isso significa que reduzir a margem de erro exige um aumento forte em n: por exemplo, ir de 3\% para 2\% (razão 3/2) tende a multiplicar n por aproximadamente (3/2)^2=2{,}25, tudo o mais igual. Aqui não vimos exatamente 2{,}25 porque os níveis de confiança foram diferentes, mas a ideia permanece: diminuir E aumenta bastante n.
  • Aumentar o nível de confiança (por exemplo de 94\% para 96\%) também aumenta n, porque z_{\alpha/2} cresce. Contudo, o efeito de reduzir E costuma ser mais forte do que o de aumentar um pouco a confiança.
  • Nos números encontrados: para E=2\% e 94\% de confiança precisamos de n=2\,211; para E=3\% e 96\% de confiança precisamos de n=1\,172. Mesmo com maior confiança em (b), a margem de erro maior ( 3\%) faz com que (b) precise de bem menos amostras que (a). Conclusão prática: controlar (reduzir) a margem de erro tem impacto maior no tamanho da amostra do que variações pequenas no nível de confiança.

Resposta

(a) n=2\,211
(b) n=1\,172
(c) Reduzir a margem de erro aumenta fortemente o tamanho da amostra; aqui, mesmo com confiança maior em (b), o E=3\% exige muito menos amostras que E=2\% em (a).

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