Considere uma pesquisa para estimar a proporção de votos de um determinado candidato.
(a) Qual o tamanho necessário de uma amostra para uma margem de erro de
e confiança de
(b) Qual o tamanho necessário de uma amostra para uma margem de erro de
e confiança de 96%?
(c) O que se pode concluir ao analisar as situações (a) e (b)?
(a) Qual o tamanho necessário de uma amostra para uma margem de erro de
(b) Qual o tamanho necessário de uma amostra para uma margem de erro de
(c) O que se pode concluir ao analisar as situações (a) e (b)?
Passo 1
O enunciado pede três coisas:
(a) O tamanho da amostra necessário para uma margem de erro de e nível de confiança de
.
(b) O tamanho da amostra necessário para uma margem de erro de e nível de confiança de
.
(c) Uma conclusão comparando (a) e (b).
(a) O tamanho da amostra necessário para uma margem de erro de
(b) O tamanho da amostra necessário para uma margem de erro de
(c) Uma conclusão comparando (a) e (b).
Informações e dados relevantes do enunciado:
- Margem de erro em (a):
, ou seja . - Nível de confiança em (a):
, logo e . - Margem de erro em (b):
, ou seja . - Nível de confiança em (b):
, logo e . - Não foi dado o valor da proporção verdadeira
. Quando é desconhecido, usamos o valor conservador (maximiza a variância e garante amostra suficiente). - Assumimos população suficientemente grande para usar aproximação normal da proporção.
Passo 2
Fórmula que vamos usar (explicada passo a passo):
A ideia é que um intervalo de confiança para a proporção tem metade da largura (a margem de erro) dada por
A ideia é que um intervalo de confiança para a proporção tem metade da largura (a margem de erro) dada por
Aqui:
-
é a margem de erro desejada (em decimais, por ex. para ); -
é o quantil da distribuição normal padrão que deixa área na cauda superior (por ex. para confiança ); -
é a proporção verdadeira (desconhecida; usamos para ser conservador); -
é o tamanho da amostra que queremos encontrar.
Despejando para
:
Explicação: a variância estimada da proporção é
; multiplicando pela constante
e isolando
chegamos à fórmula acima. Usamos
quando aplicamos o valor conservador
.
Observação prática importante: como
deve ser inteiro e precisamos garantir a margem de erro, arredondamos
para cima (teto).
Passo 3
Cálculo para o item (a):
-
. - Confiança
⇒ . O quantil da normal padrão com área à direita tem valor aproximado . (Isto vem de tabela/funcão inversa da normal: .)
Aplicamos a fórmula com:
Agora as contas passo a passo:
Arredondando para cima (teto) para garantir a margem de erro:
Passo 4
Cálculo para o item (b):
-
. - Confiança
⇒ . O quantil da normal padrão com área à direita tem valor aproximado . (Isto vem de tabela/funcão inversa da normal: .)
Aplicamos a fórmula com:
Contas passo a passo:
Arredondando para cima:
Passo 5
Interpretação e conclusão (item (c)), explicada de forma didática:
- A margem de erro
aparece ao quadrado no denominador da fórmula de . Isso significa que reduzir a margem de erro exige um aumento forte em : por exemplo, ir de para (razão ) tende a multiplicar por aproximadamente , tudo o mais igual. Aqui não vimos exatamente porque os níveis de confiança foram diferentes, mas a ideia permanece: diminuir aumenta bastante . - Aumentar o nível de confiança (por exemplo de
para ) também aumenta , porque cresce. Contudo, o efeito de reduzir costuma ser mais forte do que o de aumentar um pouco a confiança. - Nos números encontrados: para
e de confiança precisamos de ; para e de confiança precisamos de . Mesmo com maior confiança em (b), a margem de erro maior ( ) faz com que (b) precise de bem menos amostras que (a). Conclusão prática: controlar (reduzir) a margem de erro tem impacto maior no tamanho da amostra do que variações pequenas no nível de confiança.
Resposta
(a)
(b)
(c) Reduzir a margem de erro aumenta fortemente o tamanho da amostra; aqui, mesmo com confiança maior em (b), o exige muito menos amostras que
em (a).
(b)
(c) Reduzir a margem de erro aumenta fortemente o tamanho da amostra; aqui, mesmo com confiança maior em (b), o