Considere os dois intervalos de confiança a seguir, obtidos a partir de uma mesma amostra de uma população
.
(a) Identifique para qual deles o nível de confiança é maior? Justifique sua resposta.
(b) Qual é o erro amostral em cada um dos intervalos?
(b) Qual é o erro amostral em cada um dos intervalos?
Passo 1
Enunciado e o que se pede: temos, obtidos da mesma amostra de uma população
, os dois intervalos de confiança
Perguntas:
(a) Para qual dos dois o nível de confiança é maior? Justificar.
(b) Qual é o erro amostral (margin of error) em cada intervalo?
(a) Para qual dos dois o nível de confiança é maior? Justificar.
(b) Qual é o erro amostral (margin of error) em cada intervalo?
Informações relevantes dadas:
, portanto
. Os dois intervalos vieram da mesma amostra (logo têm o mesmo
e o mesmo
). Nada mais foi fornecido.
Passo 2
Fórmula e conceitos básicos (explicação didática): quando a variância é conhecida, o intervalo de confiança para a média
tem a forma
Explicando cada símbolo:
-
é a média amostral (o “centro” do intervalo). -
é o quantil da distribuição normal padrão associado ao nível de confiança (por exemplo, para 95% temos ). Formalmente, se o nível de confiança é , então satisfaz , onde . -
é o desvio padrão populacional (aqui ). -
é o tamanho da amostra.
O erro amostral (margin of error) é a metade da largura do intervalo e é dado por
Observação importante (chave para (a)): para uma mesma amostra temos mesmo
, mesmo
conhecido e mesmo
. Assim, a única coisa que diferencia intervalos obtidos da mesma amostra é o fator
. Quanto maior
, maior será
e maior será o nível de confiança
.
Passo 3
Calcular a média amostral
a partir dos intervalos (o centro do intervalo é a média):
A média é o ponto médio dos extremos:
A média é o ponto médio dos extremos:
e também
Conclusão: ambas as estimativas têm a mesma
(esperado, pois vieram da mesma amostra).
Passo 4
Calcular o erro amostral
de cada intervalo (metodologia):
é metade da largura, logo
Para o primeiro intervalo:
Para o segundo intervalo:
Passo 5
Responder (a) com justificativa: como mostrado no Passo 2, para a mesma amostra (
fixo), mesma
e mesmo
, o nível de confiança cresce quando cresce
, o que implica crescer o erro amostral
. Aqui
; portanto o segundo intervalo
corresponde a um nível de confiança maior. Intuição rápida: intervalo mais largo = mais “cobertura” = maior confiança.
Passo 6
Resumo didático final e como você pode usar isso na prova: para comparar níveis de confiança entre dois intervalos obtidos da mesma amostra, basta comparar as metades das larguras (os
). O maior
indica maior
e, por consequência, maior nível de confiança. Se precisasse transformar
em um nível numérico
, faria
e depois usaria
, onde
é a função de distribuição da normal padrão; nesse exercício não é necessário calcular
numérico porque
não foi dado.
Resposta
(a) O intervalo
tem maior nível de confiança.
(b) Erro amostral: para é
; para
é
.
(b) Erro amostral: para