Considere os dois intervalos de confiança a seguir, obtidos a partir de uma mesma amostra de uma população N(\mu ; 16).
\begin{gathered} {[13,04 ; 16,96]} \\\ {[12,42 ; 17,58]} \end{gathered}
(a) Identifique para qual deles o nível de confiança é maior? Justifique sua resposta.
(b) Qual é o erro amostral em cada um dos intervalos?

Passo 1

Enunciado e o que se pede: temos, obtidos da mesma amostra de uma população N(\mu;16), os dois intervalos de confiança
[13,04;16,96]
[12,42;17,58]
Perguntas:
(a) Para qual dos dois o nível de confiança é maior? Justificar.
(b) Qual é o erro amostral (margin of error) em cada intervalo?
Informações relevantes dadas:
\sigma^2=16, portanto \sigma=4. Os dois intervalos vieram da mesma amostra (logo têm o mesmo \bar{x} e o mesmo n). Nada mais foi fornecido.

Passo 2

Fórmula e conceitos básicos (explicação didática): quando a variância é conhecida, o intervalo de confiança para a média \mu tem a forma
\bar{x}\pm z_{\alpha/2}\,\frac{\sigma}{\sqrt{n}}.
Explicando cada símbolo:
  • \bar{x} é a média amostral (o “centro” do intervalo).
  • z_{\alpha/2} é o quantil da distribuição normal padrão associado ao nível de confiança (por exemplo, para 95% temos z_{0,025}\approx1,96). Formalmente, se o nível de confiança é 1-\alpha, então z_{\alpha/2} satisfaz P(-z_{\alpha/2}\le Z\le z_{\alpha/2})=1-\alpha, onde Z\sim N(0,1).
  • \sigma é o desvio padrão populacional (aqui \sigma=4).
  • n é o tamanho da amostra.
    O erro amostral (margin of error) é a metade da largura do intervalo e é dado por
E = z_{\alpha/2}\,\frac{\sigma}{\sqrt{n}}.
Observação importante (chave para (a)): para uma mesma amostra temos mesmo \bar{x}, mesmo \sigma conhecido e mesmo n. Assim, a única coisa que diferencia intervalos obtidos da mesma amostra é o fator z_{\alpha/2}. Quanto maior z_{\alpha/2}, maior será E e maior será o nível de confiança 1-\alpha.

Passo 3

Calcular a média amostral \bar{x} a partir dos intervalos (o centro do intervalo é a média):
A média é o ponto médio dos extremos:
\bar{x}=\frac{13,04+16,96}{2}= \frac{30,00}{2}=15,00,
e também
\bar{x}=\frac{12,42+17,58}{2}= \frac{30,00}{2}=15,00.
Conclusão: ambas as estimativas têm a mesma \bar{x}=15,00 (esperado, pois vieram da mesma amostra).

Passo 4

Calcular o erro amostral E de cada intervalo (metodologia): E é metade da largura, logo
E=\frac{\text{extremo superior}-\text{extremo inferior}}{2}.
Para o primeiro intervalo:
E_1=\frac{16,96-13,04}{2}=\frac{3,92}{2}=1,96.
Para o segundo intervalo:
E_2=\frac{17,58-12,42}{2}=\frac{5,16}{2}=2,58.

Passo 5

Responder (a) com justificativa: como mostrado no Passo 2, para a mesma amostra ( \bar{x} fixo), mesma \sigma e mesmo n, o nível de confiança cresce quando cresce z_{\alpha/2}, o que implica crescer o erro amostral E. Aqui E_2=2,58> E_1=1,96; portanto o segundo intervalo [12,42;17,58] corresponde a um nível de confiança maior. Intuição rápida: intervalo mais largo = mais “cobertura” = maior confiança.

Passo 6

Resumo didático final e como você pode usar isso na prova: para comparar níveis de confiança entre dois intervalos obtidos da mesma amostra, basta comparar as metades das larguras (os E). O maior E indica maior z_{\alpha/2} e, por consequência, maior nível de confiança. Se precisasse transformar E em um nível numérico 1-\alpha, faria z=E\cdot\sqrt{n}/\sigma e depois usaria 1-\alpha=2\Phi(z)-1, onde \Phi é a função de distribuição da normal padrão; nesse exercício não é necessário calcular 1-\alpha numérico porque n não foi dado.

Resposta

(a) O intervalo [12,42;17,58] tem maior nível de confiança.
(b) Erro amostral: para [13,04;16,96] é \,1,96; para [12,42;17,58] é \,2,58.

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