guestão 2: O Carrinho de Supermercado e a Força Constante Energia
Um carrinho de supermercado vazio de 15 kg está em repouso. Uma pessoa o empurra com uma força horizontal constante de 30 N por uma distância de 10 metros em um piso liso e nivelado. Após percorrer esses 10 metros, a pessoa para de empurrar.
a) Calcule o trabalho realizado pela pessoa para empurrar o carrinho. Qual é a energia cinética que o carrinho adquire após percorrer os 10 metros? (Utilizem o Teorema do Trabalho-Energia Cinética para determinar a velocidade final do carrinho).
b) Se a pessoa continuasse empurrando o carrinho com a mesma força por mais 5 metros, qual seria o trabalho total realizado e a energia cinética total do carrinho ao final dos 15 metros? Qual princípio físico explica a relação entre o trabalho realizado e o aumento da energia cinética do carrinho?
c) Pesquisem e descrevam uma situação real (que não envolva atrito de contato) onde uma força constante realiza trabalho para alterar a energia cinética de um objeto. Pode ser um motor que puxa algo, uma esteira transportadora, ou um sistema pneumático. Expliquem como as Leis de Newton (F=m a) e os conceitos de Trabalho e Energia se complementam para analisar o movimento nesse cenário.
d) Agora, imagine que o carrinho, após ser empurrado por 10 metros e atingir uma certa velocidade, encontra uma rampa suave que o eleva a 2 metros de altura. Se nāo há força de atrito e a pessoa para de empurrar, o carrinho conseguirá atingir essa altura? Qual a velocidade do carrinho ao atingir o ponto mais alto da rampa? Justifiquem sua resposta usando o principio da conservação da energia mecânica.

Passo 1

O enunciado dá um carrinho de supermercado de massa \,15\\ \mathrm{kg}\, inicialmente em repouso sobre um piso liso e nivelado. Uma pessoa aplica uma força horizontal constante de \,30\\ \mathrm{N}\, e empurra o carrinho por \,10\\ \mathrm{m}\,. Depois desses \,10\\ \mathrm{m}\, a pessoa para de empurrar. Perguntas pedidas:
a) Calcular o trabalho realizado pela pessoa ao empurrar por \,10\\ \mathrm{m}\,, a energia cinética adquirida pelo carrinho depois desses \,10\\ \mathrm{m}\, e a velocidade final usando o Teorema do Trabalho-Energia Cinética.
b) Se a mesma força continuasse por mais \,5\\ \mathrm{m}\, (ou seja, \,15\\ \mathrm{m}\, no total): qual o trabalho total, qual a energia cinética ao final dos \,15\\ \mathrm{m}\, e qual princípio físico explica a relação entre trabalho e aumento da energia cinética.
c) Descrever uma situação real (sem atrito de contato) em que uma força constante realiza trabalho alterando a energia cinética de um objeto, e explicar como as Leis de Newton (F=ma) e os conceitos de Trabalho e Energia se complementam para analisar o movimento.
d) Após os \,10\\ \mathrm{m}\, e atingida certa velocidade, o carrinho encontra uma rampa suave que o eleva \,2\\ \mathrm{m}\,. Não há atrito e a pessoa para de empurrar: o carrinho alcançará essa altura? Qual a velocidade no ponto mais alto? Justificar usando conservação da energia mecânica.
Dados importantes listados explicitamente: massa m=15\\ \mathrm{kg}, força constante F=30\\ \mathrm{N}, deslocamento inicial s_1=10\\ \mathrm{m}, deslocamento adicional s_2=5\\ \mathrm{m} (se aplicável), subida h=2\\ \mathrm{m}, assumir g=9{,}8\\ \mathrm{m/s^{2}}. Nenhum atrito nas partes em que nos disseram “piso liso” ou “sem atrito”.

Passo 2

Conceito de Trabalho para força constante e cálculo do trabalho nos primeiros \,10\\ \mathrm{m}\,.
Fórmula do trabalho quando a força é constante e paralela ao deslocamento:
W = F\,d\cos\theta,
onde W é o trabalho (em joules, \mathrm{J}), F é a magnitude da força (em newtons, \mathrm{N}), d é o deslocamento (em metros, \mathrm{m}) e \theta é o ângulo entre a força e o deslocamento. Aqui a força é horizontal e o deslocamento também é horizontal na mesma direção, então \theta=0^\circ e \cos 0^\circ=1. Portanto o trabalho realizado nos primeiros \,10\\ \mathrm{m}\, é
W_{10} = F\cdot s_1 = 30\\ \mathrm{N}\times 10\\ \mathrm{m} = 300\\ \mathrm{J}.
Explicação da unidade: 1\\ \mathrm{J}=1\\ \mathrm{N}\cdot\mathrm{m}.

Passo 3

Teorema do Trabalho-Energia Cinética e velocidade final após \,10\\ \mathrm{m}\,.
O Teorema do Trabalho-Energia Cinética diz:
W_{\text{líquido}}=\Delta K = K_{\text{final}}-K_{\text{inicial}},í
onde a energia cinética K de um objeto de massa m e velocidade v é
K=\tfrac{1}{2} m v^{2}.
Aqui o carrinho começa em repouso, então K_{\text{inicial}}=0. Como não há outras forças dissipativas mencionadas (piso liso), o trabalho feito pela pessoa é o trabalho líquido que aumenta a energia cinética. Assim
K_{\text{final}} = W_{10} = 300\\ \mathrm{J}.
Agora calculamos a velocidade final resolvendo \tfrac{1}{2} m v^{2}=300\\ \mathrm{J}. Substituindo m=15\\ \mathrm{kg},
\tfrac{1}{2}\cdot 15\cdot v^{2}=300.
Isolando v^{2}:
v^{2}=\frac{2\cdot 300}{15}=\frac{600}{15}=40.
Logo
v=\sqrt{40}=2\sqrt{10}\\ \mathrm{m/s}\approx 6{,}32\\ \mathrm{m/s}.
Comentário prático: outra via que dá o mesmo resultado é usar F=ma para obter a aceleração constante a=F/m, e então usar a fórmula cinemática v^{2}=v_0^{2}+2as com v_0=0.

Passo 4

Resposta detalhada da letra (a) com interpretação física e dica de prova.
Resultado obtido:
  • Trabalho realizado pela pessoa nos 10\\ \mathrm{m}: W_{10}=300\\ \mathrm{J}.
  • Energia cinética adquirida pelo carrinho após os 10\\ \mathrm{m}: K=300\\ \mathrm{J}.
  • Velocidade final (pela relação K=\tfrac{1}{2}mv^2): v=2\sqrt{10}\\ \mathrm{m/s}\approx 6{,}32\\ \mathrm{m/s}.
    Dica para prova: mostre o cálculo do trabalho com W=F d e em seguida aplique W=\Delta K; se preferir sempre cheque com F=ma e v^{2}=2as — ambas as abordagens são equivalentes para força constante.

Passo 5

Letra (b): continuar empurrando por mais \,5\\ \mathrm{m}\, — cálculo do trabalho adicional e energia cinética final.
Trabalho adicional nos \,5\\ \mathrm{m}\,:
W_{5}=F\cdot s_2 = 30\\ \mathrm{N}\times 5\\ \mathrm{m}=150\\ \mathrm{J}.
Trabalho total nos \,15\\ \mathrm{m}:
W_{\text{total}}=W_{10}+W_{5}=300\\ \mathrm{J}+150\\ \mathrm{J}=450\\ \mathrm{J}.
Como antes, sem atrito, o trabalho total é igual ao aumento total da energia cinética:
K_{\text{final,15m}}=W_{\text{total}}=450\\ \mathrm{J}.
Velocidade final depois de \,15\\ \mathrm{m}\, obtida por \tfrac{1}{2} m v^{2}=450\\ \mathrm{J}:
v^{2}=\frac{2\cdot 450}{15}=\frac{900}{15}=60,
v=\sqrt{60}=2\sqrt{15}\\ \mathrm{m/s}\approx 7{,}75\\ \mathrm{m/s}.
Comentário utilizando Newton: a=F/m=30/15=2\\ \mathrm{m/s^{2}}. Pela fórmula cinemática v^{2}=2as (com v_0=0), para s=15\\ \mathrm{m}:
v^{2}=2\cdot 2\cdot 15=60,
mesmo resultado — isso mostra coerência entre Newton (força → aceleração → mudança de velocidade) e o Teorema do Trabalho-Energia (trabalho → mudança de energia cinética).

Passo 6

Resposta conceitual da letra (b): qual princípio físico explica a relação trabalho ↔ aumento da energia cinética.
A relação é explicada pelo Teorema do Trabalho-Energia Cinética:
W_{\text{líquido}}=\Delta K.í
Também, por baixo dos panos, a Lei de Newton F=ma dá a aceleração; integrando a aceleração no deslocamento chega-se à mesma relação entre força, deslocamento e variação de energia cinética (isto é, as duas abordagens são matematicamente equivalentes e se complementam). Para provas, cite explicitamente o Teorema do Trabalho-Energia Cinética e, se pedir, mostre a consistência com F=ma e cinemática.

Passo 7

Letra (c): situação real sem atrito de contato e explicação de como F=ma e Trabalho/Energia se complementam.
Exemplo escolhido (sem atrito de contato): um guincho elétrico que puxa um objeto por uma corda em linha horizontal em um plano sem atrito (ou num trilho sem atrito). A força exercida pela corda é essencialmente uma tensão constante (não é atrito) que realiza trabalho sobre a carga e aumenta sua energia cinética.
Explicação com equações e números de exemplo simples: suponha tensão constante F_{\text{t}}=100\\ \mathrm{N} puxando uma massa m=20\\ \mathrm{kg} por d=5\\ \mathrm{m} ao longo de um trilho sem atrito. O trabalho feito pela tensão é
W=F_{\text{t}} d = 100\\ \mathrm{N}\times 5\\ \mathrm{m}=500\\ \mathrm{J}.
Pela segunda lei de Newton, a aceleração é
a=\frac{F_{\text{t}}}{m}=\frac{100}{20}=5\\ \mathrm{m/s^{2}}.
Partindo do repouso, pela cinemática v^{2}=2 a d=2\cdot 5\cdot 5=50, então v=\sqrt{50}\approx 7{,}07\\ \mathrm{m/s}. A energia cinética final é
K=\tfrac{1}{2} m v^{2}=\tfrac{1}{2}\cdot 20\cdot 50=500\\ \mathrm{J},
que confere com o trabalho calculado.
Como se complementam: F=ma nos dá a aceleração instantânea provocada pela força; integrando a aceleração ao longo do deslocamento obtemos a mudança de velocidade (cinemática). O Teorema do Trabalho-Energia fornece uma via alternativa e frequentemente mais curta: o trabalho realizado pela força ao longo do deslocamento é igual à variação da energia cinética. Em problemas de prova, se quiser o valor final da velocidade sem integrar aceleração passo a passo, aplique diretamente W=\Delta K; se precisar do perfil temporal (velocidade como função do tempo), use F=ma e integre.

Passo 8

Letra (d): subida da rampa de \,2\\ \mathrm{m}\, sem atrito, pessoa para de empurrar — aplicar conservação da energia mecânica.
Princípio usado: como não há atrito nem perda de energia por forças não conservativas, a energia mecânica total se conserva:
E_{\text{mec}}=K+U=\text{constante},
onde U=m g h é a energia potencial gravitacional. Tomando o nível do chão (base da rampa) como h=0, a energia mecânica ao chegar na rampa é só a energia cinética que já tínhamos: K_{\text{base}}=300\\ \mathrm{J} (valor calculado no Passo 3). Para subir até h=2\\ \mathrm{m} a energia potencial necessária é
\Delta U = m g h = 15\\ \mathrm{kg}\times 9{,}8\\ \mathrm{m/s^{2}}\times 2\\ \mathrm{m}=294\\ \mathrm{J}.
Comparando as energias: a energia cinética disponível 300\\ \mathrm{J} é maior que 294\\ \mathrm{J}, logo o carrinho conseguirá atingir a altura de 2\\ \mathrm{m}. A energia cinética remanescente no ponto mais alto é
K_{\text{top}}=K_{\text{base}}-\Delta U =300\\ \mathrm{J}-294\\ \mathrm{J}=6\\ \mathrm{J}.
Velocidade no topo a partir de K_{\text{top}}=\tfrac{1}{2} m v_{\text{top}}^{2}:
v_{\text{top}}^{2}=\frac{2 K_{\text{top}}}{m}=\frac{2\cdot 6}{15}=\frac{12}{15}=0{,}8,
v_{\text{top}}=\sqrt{0{,}8}\\ \mathrm{m/s}\approx 0{,}894\\ \mathrm{m/s}.
Conclusão: sim, o carrinho alcança os 2\\ \mathrm{m} e sobra uma pequena velocidade de cerca de 0{,}89\\ \mathrm{m/s} no ponto mais alto.

Passo 9

Resumo final rápido das respostas (isto é útil para conferir na prova). Mantive as unidades e os valores numéricos arredondados com duas casas decimais quando necessário.

Resposta

a) Trabalho nos 10\\ \mathrm{m}: 300\\ \mathrm{J}. Energia cinética após 10\\ \mathrm{m}: 300\\ \mathrm{J}. Velocidade final: v=2\sqrt{10}\\ \mathrm{m/s}\approx 6{,}32\\ \mathrm{m/s}.
b) Trabalho total em 15\\ \mathrm{m}: 450\\ \mathrm{J}. Energia cinética ao final dos 15\\ \mathrm{m}: 450\\ \mathrm{J}. Princípio: Teorema do Trabalho-Energia Cinética ( W_{\text{líquido}}=\Delta Kí), que é consistente com F=ma e as fórmulas da cinemática.
c) Exemplo: um guincho elétrico que puxa uma carga por uma corda (tensão constante) sobre um trilho sem atrito. A força constante produz aceleração segundo F=ma; o trabalho da força sobre um deslocamento (W=\int F\cdot ds) aumenta a energia cinética (\Delta K). As duas descrições (força → aceleração → cinemática e trabalho → variação de energia) são equivalentes e se complementam para analisar o movimento.
d) Sim, o carrinho alcança os 2\\ \mathrm{m}. Energia potencial necessária: mgh=294\\ \mathrm{J}; energia cinética antes da rampa: 300\\ \mathrm{J}; energia cinética no topo: 6\\ \mathrm{J}. Velocidade no topo: v_{\text{top}}=\sqrt{0{,}8}\\ \mathrm{m/s}\approx 0{,}89\\ \mathrm{m/s}.

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