Question 2 (2.5 pontos) Partindo da equação de Schrödinger independente do tempo, tomando-se uma partícula presa numa caixa unidimensional
, demonstre uma expressāo para
e calcule o seu valor para a particula no estado fundamental.
□
□
□
□
□
□
□
□
□
□
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: (1) demonstrar uma expressão para
partindo da equação de Schrödinger independente do tempo para uma partícula presa numa caixa unidimensional
; (2) calcular o valor de
para a partícula no estado fundamental.\n
Informações relevantes dadas pelo enunciado e condições do problema:\n
Informações relevantes dadas pelo enunciado e condições do problema:\n
- A partícula está confinada na região
com potencial infinito fora dessa região (poço infinito). Portanto para e fora.\n - As funções de onda obedecem às condições de contorno
e .\n - Devemos partir da equação de Schrödinger independente do tempo (autovalores de energia) e obter
e seu valor no estado fundamental.
Passo 2
Escrevemos a equação de Schrödinger independente do tempo e definimos os operadores relevantes. A equação é
O operador hamiltoniano unidimensional é
O operador momento e seu quadrado são
No interior da caixa,
, logo para um autoestado de energia
temos
Multiplicando ambos os lados por
obtemos a relação de operadores agindo sobre
:
Passo 3
Definimos o valor esperado de
num estado
como
Como
é autovetor de
(e, portanto, de
dentro da caixa, pela relação anterior), podemos trocar
por
dentro da integral:
Como
é normalizada em
,
. Portanto obtemos a expressão geral desejada:
Comentário didático: isso é intuitivo — dentro do poço toda a energia é cinética, e a energia cinética é
; portanto o valor médio de
é
vezes a energia média.
Passo 4
Agora precisamos do valor num estado estacionário do poço infinito. Resolvemos a equação de Schrödinger no interior
:
Rearranjando:
A solução geral é
. A condição
força
, ficando
. A condição
impõe
, logo
Portanto
Os autovalores de energia são
A normalização dá a função de onda normalizada
Passo 5
Usando a expressão geral
com
obtemos
Podemos reescrever em termos de
usando
. Calculando
, obtemos
Passo 6
Para o estado fundamental usamos
. Assim
Resumo e interpretação: a expressão geral é
(válida para autestados no poço, pois
lá) e no estado fundamental o valor numérico é
. Força e ânimo: seguimos passo a passo, e no exame basta escrever a relação Hamiltoniana, resolver a condição de contorno e substituir
.