Question 2 (2.5 pontos) Partindo da equação de Schrödinger independente do tempo, tomando-se uma partícula presa numa caixa unidimensional (0<x<L), demonstre uma expressāo para \left(p^{2}\right) e calcule o seu valor para a particula no estado fundamental.
(E) ; h^{2} / 2 L^{2}
\langle 2 m E\rangle ; h^{2} / 4 L^{2}
\langle 2 m E\rangle ; \hbar^{2} / 4 L^{2}
\langle E\rangle ; h^{2} / 4 L^{2}
\langle E / 2 m\rangle ; h^{2} / 4 L^{2}

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: (1) demonstrar uma expressão para \langle p^{2}\rangle partindo da equação de Schrödinger independente do tempo para uma partícula presa numa caixa unidimensional (0<x<L); (2) calcular o valor de \langle p^{2}\rangle para a partícula no estado fundamental.\n
Informações relevantes dadas pelo enunciado e condições do problema:\n
  • A partícula está confinada na região 0<x<L com potencial infinito fora dessa região (poço infinito). Portanto V(x)=0 para 0<x<L e V(x)=\infty fora.\n
  • As funções de onda obedecem às condições de contorno \psi(0)=0 e \psi(L)=0.\n
  • Devemos partir da equação de Schrödinger independente do tempo (autovalores de energia) e obter \langle p^2\rangle e seu valor no estado fundamental.

Passo 2

Escrevemos a equação de Schrödinger independente do tempo e definimos os operadores relevantes. A equação é
\hat H \psi = E \psi
O operador hamiltoniano unidimensional é
\hat H = \frac{\hat p^{2}}{2m} + V(x).
O operador momento e seu quadrado são
\hat p = -i\hbar\frac{d}{dx},\qquad \hat p^{2} = -\hbar^{2}\frac{d^{2}}{dx^{2}}.
No interior da caixa, V(x)=0, logo para um autoestado de energia \psi temos
\frac{\hat p^{2}}{2m}\psi = E\psi.
Multiplicando ambos os lados por 2m obtemos a relação de operadores agindo sobre \psi:
\hat p^{2}\psi = 2mE\,\psi.

Passo 3

Definimos o valor esperado de \hat p^{2} num estado \psi como
\langle p^{2}\rangle = \int_{0}^{L}\psi^{*}(x)\,\hat p^{2}\,\psi(x)\,dx.
Como \psi é autovetor de \hat H (e, portanto, de \hat p^{2} dentro da caixa, pela relação anterior), podemos trocar \hat p^{2}\psi por 2mE\psi dentro da integral:
\langle p^{2}\rangle = \int_{0}^{L}\psi^{*}(x)\,2mE\,\psi(x)\,dx = 2mE \int_{0}^{L}|\psi(x)|^{2} dx.
Como \psi é normalizada em (0,L), \int_{0}^{L}|\psi(x)|^{2} dx = 1. Portanto obtemos a expressão geral desejada:
\langle p^{2}\rangle = 2mE.
Comentário didático: isso é intuitivo — dentro do poço toda a energia é cinética, e a energia cinética é \hat p^{2}/(2m); portanto o valor médio de \hat p^{2} é 2m vezes a energia média.

Passo 4

Agora precisamos do valor num estado estacionário do poço infinito. Resolvemos a equação de Schrödinger no interior (0<x<L):
-\frac{\hbar^{2}}{2m}\frac{d^{2}\psi}{dx^{2}} = E\psi.
Rearranjando:
\frac{d^{2}\psi}{dx^{2}} + k^{2}\psi = 0,\qquad k \equiv \frac{\sqrt{2mE}}{\hbar}.
A solução geral é \psi(x)=A\cos(kx)+B\sin(kx). A condição \psi(0)=0 força A=0, ficando \psi(x)=B\sin(kx). A condição \psi(L)=0 impõe \sin(kL)=0, logo
kL = n\pi,\qquad n=1,2,\dots
Portanto
k = \frac{n\pi}{L}.
Os autovalores de energia são
E_{n}=\frac{\hbar^{2}k^{2}}{2m} = \frac{\hbar^{2}\pi^{2}n^{2}}{2mL^{2}}.
A normalização dá a função de onda normalizada
\psi_{n}(x)=\sqrt{\frac{2}{L}}\sin\!\left(\frac{n\pi x}{L}\right).

Passo 5

Usando a expressão geral \langle p^{2}\rangle = 2mE com E=E_{n} obtemos
\langle p^{2}\rangle_{n} = 2m E_{n} = 2m \cdot \frac{\hbar^{2}\pi^{2}n^{2}}{2mL^{2}} = \frac{\hbar^{2}\pi^{2}n^{2}}{L^{2}}.
Podemos reescrever em termos de h usando \hbar = \dfrac{h}{2\pi}. Calculando \hbar^{2}\pi^{2} = \dfrac{h^{2}}{4}, obtemos
\langle p^{2}\rangle_{n} = \frac{h^{2}n^{2}}{4L^{2}}.

Passo 6

Para o estado fundamental usamos n=1. Assim
\langle p^{2}\rangle_{n=1} = \frac{\hbar^{2}\pi^{2}}{L^{2}} = \frac{h^{2}}{4L^{2}}.
Resumo e interpretação: a expressão geral é \langle p^{2}\rangle = 2mE (válida para autestados no poço, pois V=0 lá) e no estado fundamental o valor numérico é \dfrac{h^{2}}{4L^{2}}. Força e ânimo: seguimos passo a passo, e no exame basta escrever a relação Hamiltoniana, resolver a condição de contorno e substituir n=1.

Resposta

\langle p^{2}\rangle = 2mE\n
\langle p^{2}\rangle_{n=1} = \dfrac{h^{2}}{4L^{2}}

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