3- Em um guia retangular de largura L (direção x) e altura H (direção y), o modo TM de menor frequência acima da frequência de corte é o TM11. O campo elétrico dessa onda guiada é dado por:
E(x, y, z, t)=z E0 sen(piL x) sen(piH y) sen(k/ / z-omega t)
Calcule o campo magnético dessa onda e explique por que esse modo é do tipo transversal magnético (se não for justifique).

Passo 1

O enunciado trata de um guia de onda retangular, modo TM11, em que já nos dão o campo elétrico
E(x,y,z,t)=z,E0,sin!l(tfracpiLxr),sin!l(tfracpiHyr),sin!l(k//z-omega tr)
Precisamos usar a Lei de Faraday (Maxwell–Faraday)
nabla times E = -mu,partial Hpartial t
para encontrar H(x,y,z,t) e, em seguida, verificar que Hz=0, caracterizando o modo como transverso magnético.

Passo 2

Como só existe componente Ez, as componentes do rotacional são
(nabla times E)x = partial Ezpartial y, (nabla times E)y = -partial Ezpartial x, (nabla times E)z = 0
E a Lei de Faraday em componentes dá
(nabla times E)i = -mu,partial Hipartial t, i=x,y,z

Passo 3

Calculemos partial Ez/partial y:
partial Ezpartial y =E0,piH,sin!l(tfracpiLxr), cos!l(tfracpiHyr), sin!l(k//z-omega tr)
Daqui
-mu,partial Hxpartial t =partial Ezpartial y ;Longrightarrow; -mu,(-omega Hx0)sinpsi =E0piHsin!l(tfracpi xLr) cos!l(tfracpi yHr)sinpsi,
onde psi=k//z-omega t e supomos Hx=Hx0(x,y)cospsi.
Assim
Hx0(x,y) =E0muomega,piH, sin!l(tfracpi xLr) cos!l(tfracpi yHr) ;;Longrightarrow;; Hx=x,E0,pimuomega H sin!l(tfracpi xLr) cos!l(tfracpi yHr) cos!psi

Passo 4

Agora partial Ez/partial x:
partial Ezpartial x =E0,piL, cos!l(tfracpiLxr), sin!l(tfracpiHyr), sin!psi
Daí
-mu,partial Hypartial t =-partial Ezpartial x ;Longrightarrow; -mu,(-omega Hy0)sinpsi =-E0piL cos!l(tfracpi xLr) sin!l(tfracpi yHr)sinpsi,
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Hy0(x,y) =-E0muomega,piL, cos!l(tfracpi xLr) sin!l(tfracpi yHr) ;;Longrightarrow;; Hy =-y,E0,pimuomega L cos!l(tfracpi xLr) sin!l(tfracpi yHr) cos!psi

Passo 5

Como não surge nenhuma equação para Hz, fixamos Hz=0. Portanto o campo magnético completo é
H(x,y,z,t) =x,E0,pimuomega H sin!l(tfracpi xLr) cos!l(tfracpi yHr) cos!l(k//z-omega tr) ;-; y,E0,pimuomega L cos!l(tfracpi xLr) sin!l(tfracpi yHr) cos!l(k//z-omega tr)

Passo 6

Como Hz=0 e Ezneq 0, a componente magnética é totalmente transversal à direção de propagação ( z): isto caracteriza um modo transversal magnético ( TM).

Resposta

boxed H(x,y,z,t) =x,E0,pimuomega H sin!l(tfracpi xLr) cos!l(tfracpi yHr) cos!l(k//z-omega tr) -y,E0,pimuomega L cos!l(tfracpi xLr) sin!l(tfracpi yHr) cos!l(k//z-omega tr)
e Hz=0, confirmando que o modo é de tipo transversal magnético.

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