GUIDORIZZI Areia está sendo despejada continuamente sobre um piso horizontal de um pátio industrial, acumulando-se na forma de um monte cônico cujo diâmetro da base é sempre igual ao triplo da altura vertical. Se a areia é despejada a uma taxa volumétrica constante de \mathbf{4} \mathbf{m}^{3} / \mathbf{m i n}, com que velocidade a altura do monte está crescendo no instante em que a altura medir exatamente 3 metros?

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Dados extraídos do enunciado:
    • A areia forma um monte cônico cujo diâmetro da base é sempre igual ao triplo da altura. Ou seja, se a altura for \,h, então o diâmetro é \,3h.
    • A areia é despejada a uma taxa volumétrica constante de \dfrac{dV}{dt}=4\\ \mathrm{m^{3}/min}.
  • O que o enunciado pede:
    • Determinar a velocidade com que a altura do monte \,h está crescendo, isto é, encontrar \dfrac{dh}{dt}, no instante em que \,h=3\\ \mathrm{m}.

Passo 2

Relacionar as grandezas geométricas do cone.
  • Se o diâmetro vale \,3h, então o raio r vale metade do diâmetro: r=\frac{3h}{2}.Aqui \,r e \,h são funções do tempo t (crescem com o despejo de areia).
  • Fórmula do volume de um cone: o volume \,V de um cone com raio \,r e altura \,h é V=\frac{1}{3}\pi r^{2}h.Onde \,V é o volume em \mathrm{m^{3}}, \pi é a constante usual e r,h estão em metros.

Passo 3

Eliminar r para ter V apenas em função de h.
  • Substituo r=\dfrac{3h}{2} na fórmula do volume: V=\frac{1}{3}\pi\left(\frac{3h}{2}\right)^{2}h.
  • Calculo passo a passo: \left(\frac{3h}{2}\right)^{2}=\frac{9h^{2}}{4},então V=\frac{1}{3}\pi\cdot\frac{9h^{2}}{4}\cdot h.
  • Simplificando: V=\frac{9}{12}\pi h^{3}=\frac{3}{4}\pi h^{3}.Portanto temos a relação explícita V=\frac{3\pi}{4}\,h^{3}.

Passo 4

Diferenciar em relação ao tempo (ideia de taxas relacionadas).
  • Como V e h variam com o tempo, derivamos ambos os lados em relação a t. Uso a regra da cadeia: a derivada de h^{3} é 3h^{2}\dfrac{dh}{dt}. \frac{dV}{dt}=\frac{3\pi}{4}\cdot 3h^{2}\frac{dh}{dt}.
  • Simplificando os coeficientes: \frac{dV}{dt}=\frac{9\pi}{4}\,h^{2}\frac{dh}{dt}.Nesta fórmula:
    • \dfrac{dV}{dt} é a taxa volumétrica conhecida ( \mathrm{m^{3}/min});
    • \dfrac{dh}{dt} é a taxa de crescimento da altura que queremos encontrar ( \mathrm{m/min});
    • h é a altura no instante considerado (em metros).

Passo 5

Isolar \dfrac{dh}{dt} e substituir os valores numéricos.
  • Isolando \dfrac{dh}{dt}: \frac{dh}{dt}=\frac{\dfrac{dV}{dt}}{\dfrac{9\pi}{4}\,h^{2}}.
  • Substituo \dfrac{dV}{dt}=4\\ \mathrm{m^{3}/min} e h=3\\ \mathrm{m}. Primeiro calculo h^{2}=3^{2}=9. \frac{dh}{dt}=\frac{4}{\dfrac{9\pi}{4}\cdot 9}.
  • Simplifico o denominador: \frac{9\pi}{4}\cdot 9=\frac{81\pi}{4},então \frac{dh}{dt}=\frac{4}{\dfrac{81\pi}{4}}=4\cdot\frac{4}{81\pi}=\frac{16}{81\pi}\\ \mathrm{m/min}.

Passo 6

Dar interpretação numérica e encorajamento.
  • Valor exato obtido: \frac{dh}{dt}=\frac{16}{81\pi}\\ \mathrm{m/min}.
  • Aproximação numérica usando \pi\approx3{,}1416: \frac{16}{81\pi}\approx 0{,}0629\\ \mathrm{m/min},ou seja, a altura cresce cerca de 6{,}29\\ \mathrm{cm/min} naquele instante.
Ficou tranquilo? É só aplicar a relação geométrica para eliminar o raio, usar a fórmula do volume do cone e derivar com a regra da cadeia — padrão típico de problemas de “related rates”. Você conseguirá fazer isso na prova, passo a passo assim.

Resposta

\dfrac{16}{81\pi}\\ \mathrm{m/min} \approx 0,0629\\ \mathrm{m/min}

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