GUIDORIZZI Areia está sendo despejada continuamente sobre um piso horizontal de um pátio industrial, acumulando-se na forma de um monte cônico cujo diâmetro da base é sempre igual ao triplo da altura vertical. Se a areia é despejada a uma taxa volumétrica constante de
, com que velocidade a altura do monte está crescendo no instante em que a altura medir exatamente 3 metros?
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
- Dados extraídos do enunciado:
- A areia forma um monte cônico cujo diâmetro da base é sempre igual ao triplo da altura. Ou seja, se a altura for
, então o diâmetro é . - A areia é despejada a uma taxa volumétrica constante de
.
- A areia forma um monte cônico cujo diâmetro da base é sempre igual ao triplo da altura. Ou seja, se a altura for
- O que o enunciado pede:
- Determinar a velocidade com que a altura do monte
está crescendo, isto é, encontrar , no instante em que .
- Determinar a velocidade com que a altura do monte
Passo 2
Relacionar as grandezas geométricas do cone.
- Se o diâmetro vale
, então o raio vale metade do diâmetro: Aqui e são funções do tempo (crescem com o despejo de areia). - Fórmula do volume de um cone: o volume
de um cone com raio e altura é Onde é o volume em , é a constante usual e estão em metros.
Passo 3
Eliminar
para ter
apenas em função de
.
- Substituo
na fórmula do volume: - Calculo passo a passo:
então - Simplificando:
Portanto temos a relação explícita
Passo 4
Diferenciar em relação ao tempo (ideia de taxas relacionadas).
- Como
e variam com o tempo, derivamos ambos os lados em relação a . Uso a regra da cadeia: a derivada de é . - Simplificando os coeficientes:
Nesta fórmula: -
é a taxa volumétrica conhecida ( ); -
é a taxa de crescimento da altura que queremos encontrar ( ); -
é a altura no instante considerado (em metros).
-
Passo 5
Isolar
e substituir os valores numéricos.
- Isolando
: - Substituo
e . Primeiro calculo . - Simplifico o denominador:
então
Passo 6
Dar interpretação numérica e encorajamento.
- Valor exato obtido:
- Aproximação numérica usando
: ou seja, a altura cresce cerca de naquele instante.
Ficou tranquilo? É só aplicar a relação geométrica para eliminar o raio, usar a fórmula do volume do cone e derivar com a regra da cadeia — padrão típico de problemas de “related rates”. Você conseguirá fazer isso na prova, passo a passo assim.