GUIDORIZZI Duas partículas pontuais, denominadas
e
, movem-se no primeiro quadrante do plano cartesiano. A partícula
desloca-se ao longo do eixo horizontal
positivo com velocidade linear constante de
. A partícula
move-se sobre o gráfico da parábola cúbica de equação
. Se a coordenada
da partícula
cresce a uma taxa constante de
, quão rápido variará a distância espacial entre as duas partículas quando
?
Passo 1
Vou listar de forma clara o que o enunciado dá e o que pede.
- A partícula
move-se ao longo do eixo positivo com velocidade linear constante . - A partícula
move-se sobre a curva . A coordenada de cresce a uma taxa constante . - As duas partículas estão no primeiro quadrante.
- A pergunta: “Quão rápido variará a distância espacial entre as duas partículas quando
?” — isto é, quer-se naquele instante, onde é a distância entre e .
Observação necessária (importante): com as informações do enunciado não é possível obter um valor numérico para
naquele instante se não soubermos a posição de
relativa a
no mesmo instante. Para obter um resultado numérico o enunciado clássico deste tipo normalmente assume que ambas partem da origem ao mesmo tempo
(ou, equivalentemente, que as posições temporais estão sincronizadas). Vou adotar essa suposição: ambas as partículas passam pela origem em
e o tempo é o mesmo para as duas. Sem essa suposição a resposta só poderia ser dada em termos da posição de
no instante pedido.
Passo 2
Definimos variáveis e escrevemos as posições em função do tempo
.
- Seja
a coordenada de . Pelo enunciado . Com a suposição temos
- Seja
a coordenada de . Pelo enunciado . Com temos
- A coordenada
de é dada pela curva , logo
Como
obtemos a relação entre
e
no mesmo instante:
No instante pedido temos
. Esse valor corresponde a
. Assim
Passo 3
Escrevemos a distância
entre as partículas usando a fórmula da distância euclidiana no plano.
- Posição de
: . - Posição de
: .
A distância é
Aqui, para simplificar a notação, escrevo
e
em vez de
e
quando for claro que dependem de
.
Passo 4
Diferenciamos
em relação a
usando a regra da cadeia.
A regra: se
, então
Aqui
.
Calculamos
. Usamos derivada de potência e de produto, lembrando que
e
são funções de
:
Portanto
Substituindo em
obtemos, após simplificar o fator
,
Explicando cada símbolo:
-
é a coordenada de no instante considerado; -
é a coordenada de no instante considerado; -
e ; -
é a distância .
Passo 5
Agora substituímos os valores no instante em que
.
- Já obtivemos
. -
e . - Calculamos
naquele instante:
- Calculamos o numerador:
Calculando passo a passo:
Somando:
Portanto
Se quiser uma aproximação numérica,
, logo
Interpretação rápida: o sinal positivo indica que a distância entre as partículas está aumentando naquele instante.