GUIDORIZZI Duas partículas pontuais, denominadas \boldsymbol{P}_{\mathbf{1}} e \boldsymbol{P}_{\mathbf{2}}, movem-se no primeiro quadrante do plano cartesiano. A partícula \boldsymbol{P}_{\mathbf{1}} desloca-se ao longo do eixo horizontal \boldsymbol{x} positivo com velocidade linear constante de 5 \mathrm{~cm} / \mathrm{s}. A partícula \boldsymbol{P}_{2} move-se sobre o gráfico da parábola cúbica de equação \boldsymbol{y}=\boldsymbol{x}^{3}. Se a coordenada x da partícula \boldsymbol{P}_{2} cresce a uma taxa constante de 2 \boldsymbol{c m} / \boldsymbol{s}, quão rápido variará a distância espacial entre as duas partículas quando x=2 \boldsymbol{c m} ?

Passo 1

Vou listar de forma clara o que o enunciado dá e o que pede.
  • A partícula P_{1} move-se ao longo do eixo x positivo com velocidade linear constante \dfrac{d}{dt}(\text{coordenada de }P_{1})=5\\ \text{cm/s}.
  • A partícula P_{2} move-se sobre a curva y=x^{3}. A coordenada x de P_{2} cresce a uma taxa constante \dfrac{dx}{dt}=2\\ \text{cm/s}.
  • As duas partículas estão no primeiro quadrante.
  • A pergunta: “Quão rápido variará a distância espacial entre as duas partículas quando x=2\\ \text{cm}?” — isto é, quer-se \dfrac{dD}{dt} naquele instante, onde D é a distância entre P_{1} e P_{2}.
Observação necessária (importante): com as informações do enunciado não é possível obter um valor numérico para \dfrac{dD}{dt} naquele instante se não soubermos a posição de P_{1} relativa a P_{2} no mesmo instante. Para obter um resultado numérico o enunciado clássico deste tipo normalmente assume que ambas partem da origem ao mesmo tempo t=0 (ou, equivalentemente, que as posições temporais estão sincronizadas). Vou adotar essa suposição: ambas as partículas passam pela origem em t=0 e o tempo é o mesmo para as duas. Sem essa suposição a resposta só poderia ser dada em termos da posição de P_{1} no instante pedido.

Passo 2

Definimos variáveis e escrevemos as posições em função do tempo t.
  • Seja u(t) a coordenada x de P_{1}. Pelo enunciado \dfrac{du}{dt}=5\\ \text{cm/s}. Com a suposição u(0)=0 temos
u(t)=5t.
  • Seja x(t) a coordenada x de P_{2}. Pelo enunciado \dfrac{dx}{dt}=2\\ \text{cm/s}. Com x(0)=0 temos
x(t)=2t.
  • A coordenada y de P_{2} é dada pela curva y=x^{3}, logo
y(t)=\bigl(x(t)\bigr)^{3}.
Como x(t)=2t obtemos a relação entre u e x no mesmo instante:
u(t)=5t=\frac{5}{2}\,x(t).
No instante pedido temos x=2\\ \text{cm}. Esse valor corresponde a t=\dfrac{x}{2}=1\\ \text{s}. Assim
u(1)=5\cdot1=5\\ \text{cm}.

Passo 3

Escrevemos a distância D(t) entre as partículas usando a fórmula da distância euclidiana no plano.
  • Posição de P_{1}: \bigl(u(t),\,0\bigr).
  • Posição de P_{2}: \bigl(x(t),\,x(t)^{3}\bigr).
A distância é
D(t)=\sqrt{\bigl(u(t)-x(t)\bigr)^{2}+\bigl(0-x(t)^{3}\bigr)^{2}} =\sqrt{\bigl(u-x\bigr)^{2}+x^{6}}.
Aqui, para simplificar a notação, escrevo u e x em vez de u(t) e x(t) quando for claro que dependem de t.

Passo 4

Diferenciamos D(t) em relação a t usando a regra da cadeia.
A regra: se D(t)=\sqrt{F(t)}=(F(t))^{1/2}, então
\frac{dD}{dt}=\frac{1}{2}(F(t))^{-1/2}\cdot\frac{dF}{dt}=\frac{1}{2D}\,\frac{dF}{dt}.
Aqui F(t)=(u-x)^{2}+x^{6}.
Calculamos \dfrac{dF}{dt}. Usamos derivada de potência e de produto, lembrando que u e x são funções de t:
\frac{d}{dt}\bigl((u-x)^{2}\bigr)=2(u-x)\cdot\frac{d}{dt}(u-x)=2(u-x)\bigl(u'-x'\bigr),
\frac{d}{dt}\bigl(x^{6}\bigr)=6x^{5}\cdot x'.
Portanto
\frac{dF}{dt}=2(u-x)\bigl(u'-x'\bigr)+6x^{5}x'.
Substituindo em \dfrac{dD}{dt}=\dfrac{1}{2D}\dfrac{dF}{dt} obtemos, após simplificar o fator 2,
\frac{dD}{dt}=\frac{(u-x)\bigl(u'-x'\bigr)+3x^{5}x'}{D}.
Explicando cada símbolo:
  • u é a coordenada x de P_{1} no instante considerado;
  • x é a coordenada x de P_{2} no instante considerado;
  • u'=\dfrac{du}{dt}=5 e x'=\dfrac{dx}{dt}=2;
  • D é a distância =\sqrt{(u-x)^{2}+x^{6}}.

Passo 5

Agora substituímos os valores no instante em que x=2\\ \text{cm}.
  • Já obtivemos u=5\\ \text{cm}.
  • u'=5 e x'=2.
  • Calculamos D naquele instante:
D=\sqrt{(u-x)^{2}+x^{6}}=\sqrt{(5-2)^{2}+2^{6}}=\sqrt{3^{2}+64}=\sqrt{9+64}=\sqrt{73}.
  • Calculamos o numerador:
(u-x)\bigl(u'-x'\bigr)+3x^{5}x'=(5-2)(5-2)+3\cdot 2^{5}\cdot 2.
Calculando passo a passo:
(5-2)(5-2)=3\cdot3=9,
2^{5}=32,\quad 3\cdot32\cdot2=3\cdot64=192.
Somando:
9+192=201.
Portanto
\frac{dD}{dt}=\frac{201}{\sqrt{73}}\\ \text{cm/s}.
Se quiser uma aproximação numérica, \sqrt{73}\approx 8,544, logo
\frac{dD}{dt}\approx\frac{201}{8,544}\approx23,5\\ \text{cm/s}.
Interpretação rápida: o sinal positivo indica que a distância entre as partículas está aumentando naquele instante.

Resposta

\dfrac{201}{\sqrt{73}}\\ \text{cm/s}
\approx 23,5\\ \text{cm/s}

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