GUIDORIZZI, vol. 3 (Exercícios 9.3 - 15)
Considere o campo e a superfície parametrizada por:

Passo 1

O enunciado pede o fluxo do campo
F(x,y,z)=(2x - y),i+3z,j+(x+y),k
através da superfície S dada pela parametrização
r(u,v)=u,i+v,j+(4-u-v),k,
com 0<= u<=2 e 0<= v<=2-u.
Para isso usamos a fórmula do fluxo orientado pela normal dada por
integral duplaSFcdot dS =integral duplaDF(r(u,v))cdotl(rutimesrvr),du,dv

Passo 2

Calculemos os vetores tangentes
ru=partialrpartial u=(1,0,-1), rv=(0,1,-1)
e o produto vetorial
rutimesrv = i&j&k 1&0&-1 0&1&-1 =(1,1,1)

Passo 3

Avaliamo F ao longo da parametrização:
F(r(u,v)) =l(2u-v,;3(4-u-v),;u+vr)
O produto escalar com rutimesrv é
F(r(u,v))cdot(1,1,1) =(2u-v)+3(4-u-v)+(u+v) =12-3v

Passo 4

Integramos 12-3v sobre o domínio triangular D:;0<= v<=2-u,;0<= u<=2:
integral duplaD(12-3v),dv,du =integral0^2!integral0^2-u(12-3v),dv,du =integral0^2l[12(2-u)-tfrac32(2-u)^2r]du
Expandindo e integrando,
integral0^2l(18-6u-tfrac32u^2r)du =l[18u-3u^2-tfrac12u^3r]0^2 =36-12-4 =20

Resposta

O fluxo de F através de S é 20.

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