Quando
, o sistema linear resultante tem quantas incógnitas e a matriz
tem quantos elementos (incluindo os diferentes de zero e os nulos)? Quantos elementos não nulos a matriz
tem neste caso? Qual o percentual dos elementos de
que não são nulos neste caso?
Passo 1
O enunciado trata da discretização por diferenças finitas de uma equação em
com passo
. Cada ponto interior gera uma incógnita e a matriz
é a matriz de coeficientes desse sistema, construída pelo esquema de cinco pontos (stencil 5-pontos).
Passo 2
Em cada direção
ou
o número de subintervalos é
mas descontando os dois extremos (condições de contorno) há
pontos internos em cada direção. Logo o número total de incógnitas é
Passo 3
A matriz
é quadrada de ordem
, então o total de elementos (zerados ou não) é
Passo 4
No stencil de cinco pontos, cada linha da matriz corresponde a um ponto interno que se conecta a até quatro vizinhos mais si mesmo, gerando no máximo 5 elementos não nulos por linha. Porém, pontos na borda interna têm apenas 3 ou 4 conexões. Para contar exatamente os não nulos, considere
:
- nós totalmente internos:
linhas com 5 não nulos; - nós em arestas (excluindo cantos):
linhas com 4 não nulos; - nós em cantos: 4 linhas com 3 não nulos.
Somando, o número de elementos não nulos é
Passo 5
Substituindo
na fórmula dos não nulos, obtém-se
Passo 6
O percentual de não nulos na matriz é
Resposta
O sistema tem
incógnitas.
A matriz tem
elementos no total, dos quais
são não nulos, correspondendo a cerca de
do total.
A matriz