Quando h=0,025, o sistema linear resultante tem quantas incógnitas e a matriz A tem quantos elementos (incluindo os diferentes de zero e os nulos)? Quantos elementos não nulos a matriz A tem neste caso? Qual o percentual dos elementos de A que não são nulos neste caso?

Passo 1

O enunciado trata da discretização por diferenças finitas de uma equação em [0,1]times[0,1] com passo h=0,025. Cada ponto interior gera uma incógnita e a matriz A é a matriz de coeficientes desse sistema, construída pelo esquema de cinco pontos (stencil 5-pontos).

Passo 2

Em cada direção x ou y o número de subintervalos é
1h ;=;10,025;=;40,
mas descontando os dois extremos (condições de contorno) há
40 - 1 = 39
pontos internos em cada direção. Logo o número total de incógnitas é
N = 39^2 = 1521

Passo 3

A matriz A é quadrada de ordem N, então o total de elementos (zerados ou não) é
N^2 = 1521^2 = 2313441

Passo 4

No stencil de cinco pontos, cada linha da matriz corresponde a um ponto interno que se conecta a até quatro vizinhos mais si mesmo, gerando no máximo 5 elementos não nulos por linha. Porém, pontos na borda interna têm apenas 3 ou 4 conexões. Para contar exatamente os não nulos, considere m=39:
  • nós totalmente internos: (m-2)^2 linhas com 5 não nulos;
  • nós em arestas (excluindo cantos): 4(m-2) linhas com 4 não nulos;
  • nós em cantos: 4 linhas com 3 não nulos.
    Somando, o número de elementos não nulos é
5(m-2)^2 ;+;4cdot4(m-2);+;4cdot3 =5m^2 -4m

Passo 5

Substituindo m=39 na fórmula dos não nulos, obtém-se
5cdot39^2 -4cdot39 =5cdot1521 -156 =7605 -156 =7449

Passo 6

O percentual de não nulos na matriz é
74492313441times100%approx0,322%

Resposta

O sistema tem 1521 incógnitas.
A matriz A tem 2313441 elementos no total, dos quais 7449 são não nulos, correspondendo a cerca de 0,322% do total.

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