Q.6: Utilizando o Teorema do Valor Intermediário e o Teorema do Anulamento, responda os itens abaixo.
Mostre que a equação
tem pelo menos uma solução real positiva e uma negativa.
Mostre que a equação
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que a equação
tem pelo menos uma raiz positiva e uma negativa, usando o Teorema do Valor Intermediário (TVI) e o Teorema do Anulamento. Vamos definir a função
e usar que
é contínua em
.
Passo 2
Verificamos continuidade: como
é contínua em todo
e
também, a diferença
é contínua em
. Assim podemos aplicar o TVI em qualquer intervalo.
Passo 3
Procuramos uma raiz positiva. Calculamos
Como
, pelo TVI existe
tal que
. Logo há pelo menos uma solução real positiva.
Passo 4
Para a raiz negativa, calculamos
Como
, pelo TVI existe
tal que
. Logo há pelo menos uma solução real negativa.
Resposta
Há pelo menos uma solução em
(positiva) e uma em
(negativa).