Q.6: Utilizando o Teorema do Valor Intermediário e o Teorema do Anulamento, responda os itens abaixo.
Mostre que a equação cos (pi x)=x^3-x tem pelo menos uma solução real positiva e uma negativa.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a equação
cos(pi x)=x^3 - x
tem pelo menos uma raiz positiva e uma negativa, usando o Teorema do Valor Intermediário (TVI) e o Teorema do Anulamento. Vamos definir a função
f(x)=cos(pi x)-(x^3-x)
e usar que f é contínua em R.

Passo 2

Verificamos continuidade: como cos(pi x) é contínua em todo R e x^3-x também, a diferença
f(x)=cos(pi x)-(x^3-x)
é contínua em R. Assim podemos aplicar o TVI em qualquer intervalo.

Passo 3

Procuramos uma raiz positiva. Calculamos
f(0)=cos(0)-(0^3-0)=1>0,
f(1)=cos(pi)-(1^3-1)=-1-0=-1<0
Como f(0)cdot f(1)<0, pelo TVI existe cin(0,1) tal que f(c)=0. Logo há pelo menos uma solução real positiva.

Passo 4

Para a raiz negativa, calculamos
f(-1)=cos(-pi)-l((-1)^3-(-1)r)=-1-(-1+1)=-1<0,
f(0)=1>0
Como f(-1)cdot f(0)<0, pelo TVI existe din(-1,0) tal que f(d)=0. Logo há pelo menos uma solução real negativa.

Resposta

Há pelo menos uma solução em (0,1) (positiva) e uma em (-1,0) (negativa).

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