H. 155 Obter a derivada de cada uma das seguintes funções:
F(x)=x+3 \cdot \operatorname{tg} 4 x

Passo 1

O enunciado pede a derivada da função
F(x) = x + 3\cdot \tan(4x).
Vamos usar as regras de derivação de soma, fator constante e, para \tan(u), a regra da cadeia:
\frac{d}{dx}\tan(u) = \operatorname{sec}^2(u)\,\frac{du}{dx}.

Passo 2

Derivando o primeiro termo, que é x, pela regra básica, obtemos
\frac{d}{dx}\bigl(x\bigr) = 1.

Passo 3

Para o segundo termo, 3\cdot \tan(4x), aplicamos a regra do fator constante:
\frac{d}{dx}\bigl(3\,\tan(4x)\bigr) = 3 \,\frac{d}{dx}\bigl(\tan(4x)\bigr).

Passo 4

Agora derivamos \tan(4x) pela regra da cadeia:
\frac{d}{dx}\bigl(\tan(4x)\bigr) = \operatorname{sec}^2(4x)\,\frac{d}{dx}(4x) = \operatorname{sec}^2(4x)\cdot 4.

Passo 5

Multiplicando pelo fator 3 e somando com a derivada de x, temos
F'(x) = 1 + 3\cdot\bigl(4\,\operatorname{sec}^2(4x)\bigr) = 1 + 12\,\operatorname{sec}^2(4x).

Resposta

F'(x) = 1 + 12\,\operatorname{sec}^2(4x).

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