H. 155 Obter a derivada de cada uma das seguintes funções:
F(x)=a^{\operatorname{sen} x}\left(a \in \mathbb{R}_{+}\right)

Passo 1

O enunciado nos dá a função
F(x)=a^{\sin x},\quad a\in\mathbb{R}_{+},
e pede sua derivada. O conteúdo envolve a derivada de uma exponencial com base constante e expoente variável, o que exige a regra de derivação de a^{u(x)} e a regra da cadeia, além da derivada de \sin x.

Passo 2

Sabemos que, para uma função u(x), vale a fórmula
\frac{d}{dx}\bigl(a^{u(x)}\bigr)=a^{u(x)}\,\ln(a)\,\frac{du}{dx}.
Aqui \ln(a) aparece porque convertemos a base a para a base e antes de derivar.

Passo 3

No nosso caso, u(x)=\sin x. Logo,
\frac{du}{dx}=\cos x.
Substituindo na fórmula anterior, obtemos
F'(x)=a^{\sin x}\,\ln(a)\,\cos x.

Resposta

F'(x)=a^{\sin x}\,\ln(a)\,\cos x.

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