H. 163 Determinar a função derivada das seguintes funções:
a) f(x)=\operatorname{arcsen} 3 x
b) f(x)=\operatorname{arccos} x^{3}
c) f(x)=\operatorname{arctg} \frac{1}{x}
h) f(x)=\ln \operatorname{arccos} x
i) f(x)=\sqrt{\operatorname{arctg} x}
j) f(x)=x \cdot \operatorname{arcsen} x^{2}-e^{x^{3}}

Passo 1

Resumindo o que precisamos: derivar funções compostas usando regra da cadeia, produto e as derivadas padrões
(\arcsin u)'=\frac{u'}{\sqrt{1-u^2}},\quad (\operatorname{arccos} u)'=-\frac{u'}{\sqrt{1-u^2}},\quad (\arctan u)'=\frac{u'}{1+u^2},
(\ln u)'=\frac{u'}{u},\quad (\sqrt{u})'=\frac{u'}{2\sqrt{u}},\quad (uv)'=u'v+uv',\quad (e^u)'=e^u\,u'.

Passo 2

Para f(x)=\arcsin(3x) aplicamos cadeia com u=3x e u'=3:
f'(x)=\frac{3}{\sqrt{1-(3x)^2}} =\frac{3}{\sqrt{1-9x^2}}.

Passo 3

Para f(x)=\operatorname{arccos}(x^3) usamos u=x^3, u'=3x^2 e a derivada de \operatorname{arccos}:
f'(x)=-\frac{3x^2}{\sqrt{1-(x^3)^2}} =-\frac{3x^2}{\sqrt{1-x^6}}.

Passo 4

Para f(x)=\arctan\bigl(1/x\bigr) tomamos u=1/x, u'=-1/x^2 e
f'(x)=\frac{-1/x^2}{1+(1/x)^2} =-\frac{1}{x^2+1}.

Passo 5

Para f(x)=\ln\bigl(\operatorname{arccos} x\bigr) usamos (\ln u)'=u'/u com u=\operatorname{arccos} x, u'=-1/\sqrt{1-x^2}:
f'(x) =\frac{-1/\sqrt{1-x^2}}{\operatorname{arccos} x} =-\frac{1}{\operatorname{arccos} x\,\sqrt{1-x^2}}.

Passo 6

Para f(x)=\sqrt{\arctan x}=(\arctan x)^{1/2} aplicamos (\sqrt{u})'=\tfrac{u'}{2\sqrt{u}} com u=\arctan x, u'=1/(1+x^2):
f'(x) =\frac{1/(1+x^2)}{2\sqrt{\arctan x}} =\frac{1}{2(1+x^2)\sqrt{\arctan x}}.

Passo 7

Para
f(x)=x\cdot\arcsin(x^2)-e^{x^3}
usamos produto na primeira parte e cadeia na exponencial.
Seja u=x, v=\arcsin(x^2), então u'=1 e v'=\tfrac{2x}{\sqrt{1-x^4}}. Logo a derivada do produto é
u'v+uv' =\arcsin(x^2)+x\cdot\frac{2x}{\sqrt{1-x^4}} =\arcsin(x^2)+\frac{2x^2}{\sqrt{1-x^4}}.
E \bigl(e^{x^3}\bigr)'=e^{x^3}\cdot3x^2. Assim,
f'(x) =\arcsin(x^2)+\frac{2x^2}{\sqrt{1-x^4}}-3x^2e^{x^3}.

Resposta

a) \displaystyle f'(x)=\frac{3}{\sqrt{1-9x^2}}.
b) \displaystyle f'(x)=-\frac{3x^2}{\sqrt{1-x^6}}.
c) \displaystyle f'(x)=-\frac{1}{x^2+1}.
h) \displaystyle f'(x)=-\frac{1}{\operatorname{arccos} x\,\sqrt{1-x^2}}.
i) \displaystyle f'(x)=\frac{1}{2(1+x^2)\sqrt{\arctan x}}.
j) \displaystyle f'(x)=\arcsin(x^2)+\frac{2x^2}{\sqrt{1-x^4}}-3x^2e^{x^3}.

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