NAS QUESTÖES DE LIMITE QUE ENVOLVEM INDERTERMINAÇÖES DO TIPO
, NÃO SERÃO ACEITAS AS RESPOSTAS OBTIDAS PELA REGRA DE LHOSPITAL.
GRUPO 01- LIMITE E CONTINUIDADE DE FUNÇÕES (ESCOLHA APENAS 4 QUESTÖES)
2.) Calcule: (ESCOLHA APENAS UM ITEM)
a)
.
GRUPO 01- LIMITE E CONTINUIDADE DE FUNÇÕES (ESCOLHA APENAS 4 QUESTÖES)
2.) Calcule: (ESCOLHA APENAS UM ITEM)
a)
Passo 1
O exercício pede para calcular
. O tema é limite de funções, com indeterminação do tipo
, e não podemos usar a regra de L’Hospital, mas sim identidades trigonométricas e limites notáveis.
Passo 2
Ao substituir
, temos
e
, logo o denominador
. Então, aparece a forma
. Vamos usar uma identidade trigonométrica para simplificar o denominador.
Passo 3
Usando a identidade
, podemos reescrever o denominador:
[ -1 + \cos^2(5x) = -\bigl(1-\cos^2(5x)\bigr) = -\sin^2(5x). ]
[ -1 + \cos^2(5x) = -\bigl(1-\cos^2(5x)\bigr) = -\sin^2(5x). ]
Passo 4
Logo a expressão do limite fica:
[ \lim_{x\to0} \frac{\sin2(3x)}{-\sin2(5x)} = -\lim_{x\to0} \frac{\sin2(3x)}{\sin2(5x)}. ]
[ \lim_{x\to0} \frac{\sin2(3x)}{-\sin2(5x)} = -\lim_{x\to0} \frac{\sin2(3x)}{\sin2(5x)}. ]
Passo 5
Para resolver este último limite, usamos o limite notável
. Assim,
[ \frac{\sin2(3x)}{\sin2(5x)} = \Bigl(\frac{\sin(3x)}{3x}\Bigr)^2 \cdot \frac{9x2}{25x2} \cdot \Bigl(\frac{5x}{\sin(5x)}\Bigr)^2 \to 12\cdot\frac{9}{25}\cdot12 = \frac{9}{25}. ]
[ \frac{\sin2(3x)}{\sin2(5x)} = \Bigl(\frac{\sin(3x)}{3x}\Bigr)^2 \cdot \frac{9x2}{25x2} \cdot \Bigl(\frac{5x}{\sin(5x)}\Bigr)^2 \to 12\cdot\frac{9}{25}\cdot12 = \frac{9}{25}. ]
Passo 6
Incluindo o sinal negativo que ficou fora do limite, concluímos que o valor do limite é
.