NAS QUESTÖES DE LIMITE QUE ENVOLVEM INDERTERMINAÇÖES DO TIPO 00 e inftyinfty, NÃO SERÃO ACEITAS AS RESPOSTAS OBTIDAS PELA REGRA DE LHOSPITAL.
GRUPO 01- LIMITE E CONTINUIDADE DE FUNÇÕES (ESCOLHA APENAS 4 QUESTÖES)
2.) Calcule: (ESCOLHA APENAS UM ITEM)
a) lim x 0 sen^2(3 x)-1+cos ^2(5 x).

Passo 1

O exercício pede para calcular limxto0 sin^2(3x)-1+cos^2(5x). O tema é limite de funções, com indeterminação do tipo 0/0, e não podemos usar a regra de L’Hospital, mas sim identidades trigonométricas e limites notáveis.

Passo 2

Ao substituir x=0, temos sin^2(3x)to0 e cos^2(5x)to1, logo o denominador -1+cos^2(5x)to0. Então, aparece a forma 0/0. Vamos usar uma identidade trigonométrica para simplificar o denominador.

Passo 3

Usando a identidade 1-cos^2(u)=sin^2(u), podemos reescrever o denominador:
[ -1 + \cos^2(5x) = -\bigl(1-\cos^2(5x)\bigr) = -\sin^2(5x). ]

Passo 4

Logo a expressão do limite fica:
[ \lim_{x\to0} \frac{\sin2(3x)}{-\sin2(5x)} = -\lim_{x\to0} \frac{\sin2(3x)}{\sin2(5x)}. ]

Passo 5

Para resolver este último limite, usamos o limite notável limuto0 sin(u)u=1. Assim,
[ \frac{\sin2(3x)}{\sin2(5x)} = \Bigl(\frac{\sin(3x)}{3x}\Bigr)^2 \cdot \frac{9x2}{25x2} \cdot \Bigl(\frac{5x}{\sin(5x)}\Bigr)^2 \to 12\cdot\frac{9}{25}\cdot12 = \frac{9}{25}. ]

Passo 6

Incluindo o sinal negativo que ficou fora do limite, concluímos que o valor do limite é -tfrac925.

Resposta

-925

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