(h) u=x^y / z ; partial^2 upartial y partial z

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada parcial mista partial^2 upartial ypartial z de u = x^y/z. O conteúdo envolve derivadas parciais, regra da cadeia e regra do produto para funções do tipo exponencial.

Passo 2

Para simplificar a conta, escrevemos u como exponencial: u = x^y/z = e^A com A = yzln x. Assim, sempre que derivarmos u, usamos partial upartial w = upartial Apartial w.

Passo 3

Vamos achar primeiro partial upartial z. Como A = yzln x, temos
partial Apartial z = ln xcdotpartialpartial zl(yzr) = ln xcdotl(-yz^2r)
Logo,
partial upartial z = upartial Apartial z = -u,y,ln xz^2

Passo 4

Precisamos agora derivar partial upartial z em relação a y. Note que ele é produto de -y e de u. Usamos a regra do produto:
partialpartial yl(u,yr) = u + ypartial upartial y
E como partial upartial y = upartial Apartial y = uln xcdot1z = uln xz, segue
partialpartial y(u,y) = u + yuln xz = ul(1 + yln xzr)

Passo 5

Agora juntamos tudo para obter partial^2 upartial ypartial z = partialpartial yl(partial upartial zr). Como
partial upartial z = -yln xz^2,u,
temos
partial^2 upartial ypartial z = -ln xz^2partialpartial y(u,y) = -ln xz^2,ul(1 + yln xzr)

Passo 6

Essa é a forma simplificada da derivada parcial mista.

Resposta

partial^2 upartial ypartial z = -u,ln xz^2l(1 + yln xzr), u = x^y/z

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