No experimento do baralho, seja X a variável aleatória do número de extraçães mal sucedidas antes do primeiro ás ser retirado. Encontrar E(X) e V(X).
Passo 1
Enunciado e dados que temos:
- Temos um baralho padrão com
cartas, das quais são ases e não são ases. - Fazemos extrações sem reposição, uma a uma, até retirar o primeiro ás.
- Seja
a variável aleatória que conta o número de extrações mal sucedidas (ou seja, cartas que não são ás) antes de aparecimento do primeiro ás.
O que o problema pede:
- Calcular
. - Calcular
.
Passo 2
Modelagem e observação útil (intuição que facilita cálculo):
- Se chamarmos
a posição (índice) da carta onde aparece o primeiro ás (ou seja, se o primeiro ás sair na primeira carta, ; se sair na segunda, , etc.), então existe a relação simples
- Portanto podemos encontrar
e a partir de e usando
- Outra observação: as posições dos
ases no baralho aleatoriamente embaralhado são igualmente prováveis entre todas as escolhas de posições. Assim é o menor (mínimo) entre essas quatro posições escolhidas aleatoriamente em . Isso permite usar propriedades de estatísticas de ordem (o mínimo entre posições escolhidas uniformemente).
Passo 3
Fórmula da distribuição de
(pmf) — verificação e intuição:
- Uma forma direta de ver a probabilidade de que
(ou seja, o primeiro ás aparece na posição ) é exigir que as primeiras cartas sejam não-ases e que a -ésima seja um ás. Isso dá a fórmula sequencial (produto das probabilidades sem reposição):
para
(o máximo
ocorre se os 48 não-ases vierem todos antes do primeiro ás).
- Outra forma combinatória equivalente (às vezes mais simples para raciocínio) é contar as formas de colocar os
ases de modo que o primeiro ás esteja em : devemos escolher as outras posições de as entre as posições posteriores. Assim
e, como
,
Essas duas expressões são equivalentes; a segunda é útil para raciocínios combinatoriais.
Passo 4
Cálculo de
(e daí
) — argumento das lacunas (gaps) por simetria:
- Seja
o número total de posições e o número de ases. Ordenando as posições dos ases , definimos as “lacunas” entre as fronteiras e : - Essas
lacunas somam - Pela simetria (as posições dos ases são escolhidas de forma uniforme entre todas as combinações), as expectativas de todas as lacunas são iguais. Logo cada lacuna tem expectativa
- Como
, tem-se - Substituindo
e , - Portanto
Passo 5
Cálculo de
(e daí
) — fórmula para variância da estatística de ordem:
- Existe uma fórmula padrão (que pode ser demonstrada usando a distribuição conjunta das lacunas — ela se relaciona com o modelo multinomial/Dirichlet discreto) para a variância do
-ésimo estatístico de ordem quando escolhemos posições uniformes sem reposição em : - No nosso caso queremos o mínimo, isto é
, com e . Substituindo na fórmula: - Simplificando passo a passo:
Portanto o numerador é
Calculemos:
Logo
- Simplificando a fração:
- Como
(porque e a subtração de constante não altera a variância), obtemos