No experimento do baralho, seja X a variável aleatória do número de extraçães mal sucedidas antes do primeiro ás ser retirado. Encontrar E(X) e V(X).

Passo 1

Enunciado e dados que temos:
  • Temos um baralho padrão com 52 cartas, das quais 4 são ases e 48 não são ases.
  • Fazemos extrações sem reposição, uma a uma, até retirar o primeiro ás.
  • Seja X a variável aleatória que conta o número de extrações mal sucedidas (ou seja, cartas que não são ás) antes de aparecimento do primeiro ás.
O que o problema pede:
  • Calcular \mathbb{E}(X).
  • Calcular \mathrm{Var}(X).

Passo 2

Modelagem e observação útil (intuição que facilita cálculo):
  • Se chamarmos Y a posição (índice) da carta onde aparece o primeiro ás (ou seja, se o primeiro ás sair na primeira carta, Y=1; se sair na segunda, Y=2, etc.), então existe a relação simples
Y = X + 1.
  • Portanto podemos encontrar \mathbb{E}(X) e \mathrm{Var}(X) a partir de \mathbb{E}(Y) e \mathrm{Var}(Y) usando
\mathbb{E}(X) = \mathbb{E}(Y) - 1,\qquad \mathrm{Var}(X)=\mathrm{Var}(Y).
  • Outra observação: as posições dos 4 ases no baralho aleatoriamente embaralhado são igualmente prováveis entre todas as \binom{52}{4} escolhas de posições. Assim Y é o menor (mínimo) entre essas quatro posições escolhidas aleatoriamente em \{1,\dots,52\}. Isso permite usar propriedades de estatísticas de ordem (o mínimo entre r posições escolhidas uniformemente).

Passo 3

Fórmula da distribuição de X (pmf) — verificação e intuição:
  • Uma forma direta de ver a probabilidade de que X=k (ou seja, o primeiro ás aparece na posição k+1) é exigir que as primeiras k cartas sejam não-ases e que a (k+1)-ésima seja um ás. Isso dá a fórmula sequencial (produto das probabilidades sem reposição):
\mathbb{P}(X=k)=\frac{48}{52}\cdot\frac{47}{51}\cdots\frac{48-(k-1)}{52-(k-1)}\cdot\frac{4}{52-k},
para k=0,1,\dots,48 (o máximo k=48 ocorre se os 48 não-ases vierem todos antes do primeiro ás).
  • Outra forma combinatória equivalente (às vezes mais simples para raciocínio) é contar as formas de colocar os 4 ases de modo que o primeiro ás esteja em m=k+1: devemos escolher as outras 3 posições de as entre as 52-m posições posteriores. Assim
\mathbb{P}(Y=m)=\frac{\binom{52-m}{3}}{\binom{52}{4}},
e, como Y=k+1,
\mathbb{P}(X=k)=\frac{\binom{51-k}{3}}{\binom{52}{4}}.
Essas duas expressões são equivalentes; a segunda é útil para raciocínios combinatoriais.

Passo 4

Cálculo de \mathbb{E}(Y) (e daí \mathbb{E}(X)) — argumento das lacunas (gaps) por simetria:
  • Seja N=52 o número total de posições e r=4 o número de ases. Ordenando as posições dos ases p_1<p_2<p_3<p_4, definimos as “lacunas” entre as fronteiras 0 e N+1: g_1 = p_1-0 = p_1,\quad g_2=p_2-p_1,\quad g_3=p_3-p_2,\quad g_4=p_4-p_3,\quad g_5=(N+1)-p_4.
  • Essas r+1=5 lacunas somam g_1+g_2+g_3+g_4+g_5 = N+1.
  • Pela simetria (as posições dos ases são escolhidas de forma uniforme entre todas as combinações), as expectativas de todas as lacunas são iguais. Logo cada lacuna tem expectativa \mathbb{E}(g_i)=\frac{N+1}{r+1}.
  • Como Y=p_1=g_1, tem-se \mathbb{E}(Y)=\frac{N+1}{r+1}.
  • Substituindo N=52 e r=4, \mathbb{E}(Y)=\frac{52+1}{4+1}=\frac{53}{5}=10{,}6.
  • Portanto \mathbb{E}(X)=\mathbb{E}(Y)-1=\frac{53}{5}-1=\frac{48}{5}=9{,}6.

Passo 5

Cálculo de \mathrm{Var}(Y) (e daí \mathrm{Var}(X)) — fórmula para variância da estatística de ordem:
  • Existe uma fórmula padrão (que pode ser demonstrada usando a distribuição conjunta das lacunas — ela se relaciona com o modelo multinomial/Dirichlet discreto) para a variância do j-ésimo estatístico de ordem X_{(j)} quando escolhemos r posições uniformes sem reposição em \{1,\dots,N\}: \mathrm{Var}\bigl(X_{(j)}\bigr)=\frac{j\,(r-j+1)\,(N+1)(N-r)}{(r+1)^2(r+2)}.
  • No nosso caso queremos o mínimo, isto é j=1, com r=4 e N=52. Substituindo na fórmula: \mathrm{Var}(Y)=\frac{1\cdot(4-1+1)\cdot(52+1)\cdot(52-4)}{(4+1)^2(4+2)}.
  • Simplificando passo a passo: 4-1+1 = 4,
52+1 = 53,\qquad 52-4=48,
(4+1)^2(4+2)=5^2\cdot 6=25\cdot 6=150.
Portanto o numerador é
1\cdot 4\cdot 53\cdot 48 = 4\cdot 53\cdot 48.
Calculemos:
53\cdot 48 = 2544,\qquad 4\cdot 2544 = 10176.
Logo
\mathrm{Var}(Y)=\frac{10176}{150}.
  • Simplificando a fração: \frac{10176}{150}=\frac{1696}{25}=67{,}84.
  • Como \mathrm{Var}(X)=\mathrm{Var}(Y) (porque X=Y-1 e a subtração de constante não altera a variância), obtemos \mathrm{Var}(X)=\frac{1696}{25}=67{,}84.

Resposta

\displaystyle \mathbb{E}(X)=\frac{48}{5}=9{,}6
\displaystyle \mathrm{Var}(X)=\frac{1696}{25}=67{,}84

Exercícios relacionados