Um homem possui quatro chaves em seu bolso. Como está escuro, ele não consegue ver qual a chave correta para abrir a porta de sua casa, que se encontra trancada. Ele testa cada uma das chaves até encontrar a correta.
(a) (1 pt) Defina um espaço amostral para esse experimento.
(b) (1 pt) Seja
a v.a.d “número de chaves testadas até conseguir abrir a porta”. Quais são os possíveis valores para
?
(c) (1 pt) Obtenha a distribuição de probabilidade de
.
(a) (1 pt) Defina um espaço amostral para esse experimento.
(b) (1 pt) Seja
(c) (1 pt) Obtenha a distribuição de probabilidade de
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede três coisas:
- Informações dadas:
- Há quatro chaves distintas no bolso.
- Exatamente uma dessas chaves abre a porta.
- O homem testa as chaves, sem ver, até encontrar a correta (testes sem reposição).
- Perguntas:
(a) Definir um espaço amostral para o experimento.
(b) Determinar os possíveis valores da variável aleatória= “número de chaves testadas até conseguir abrir a porta”.
(c) Obter a distribuição de probabilidade de.
Passo 2
Escolhendo um modelo adequado para o espaço amostral (explicação didática):
- Como as chaves são distintas e ele vai testá‑las em alguma ordem sem repetir, uma descrição natural do experimento é: o resultado é a ordem na qual as quatro chaves são testadas.
- Um jeito claro de formalizar isso é enumerar as chaves por
(ou usar nomes). Cada resultado possível é então uma permutação ordenada desses quatro símbolos, por exemplo significa que a primeira testada é a chave , depois a , depois a e por último a . - Esse modelo cobre exatamente todas as possibilidades de como os testes podem ocorrer até abrir a porta (a posição da chave correta na permutação indica em que tentativa ele consegue abrir).
Passo 3
Construindo explicitamente o espaço amostral:
- O conjunto de todas as permutações de
tem elementos. - Portanto, uma definição clara é
isto é,
tem
resultados possíveis.
Passo 4
Explicando como a variável
é obtida a partir do espaço amostral:
- Identifique qual símbolo (por exemplo, suponha que a chave correta seja chamada de
) representa a chave que abre a porta. Em cada permutação, a posição do símbolo diz em qual tentativa a porta foi aberta. - Assim,
é simplesmente a posição de na permutação. Logo os valores possíveis de são as posições possíveis:
Passo 5
Cálculo das probabilidades (método por contagem, com explicação):
- Para fixar
, quantas permutações têm a chave correta na posição ? As outras três chaves podem aparecer nas demais posições em qualquer ordem, ou seja, maneiras. - O número total de permutações é
. Se assumirmos que, por falta de informação, todas as ordens de teste são igualmente prováveis (modelo natural quando ele escolhe aleatoriamente sem ver), então
Passo 6
Intuição alternativa (método por probabilidade condicional, mesmo resultado):
- Pode também ver assim:
-
probabilidade de acertar na 1ª tentativa . -
probabilidade de errar a 1ª (prob ) e acertar a 2ª dentre as 3 restantes (prob ), então . - De forma análoga
e .
-
- Esse cálculo condicionado reforça por que todas as probabilidades são iguais a
.
Passo 7
Conclusão final — distribuição:
- A variável
assume valores com probabilidades iguais:
Resposta
(a)
(24 resultados).
(b) .
(c) para
.
(b)
(c)