Um homem possui quatro chaves em seu bolso. Como está escuro, ele não consegue ver qual a chave correta para abrir a porta de sua casa, que se encontra trancada. Ele testa cada uma das chaves até encontrar a correta.
(a) (1 pt) Defina um espaço amostral para esse experimento.
(b) (1 pt) Seja X a v.a.d “número de chaves testadas até conseguir abrir a porta”. Quais são os possíveis valores para X ?
(c) (1 pt) Obtenha a distribuição de probabilidade de X.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede três coisas:
  • Informações dadas:
    • Há quatro chaves distintas no bolso.
    • Exatamente uma dessas chaves abre a porta.
    • O homem testa as chaves, sem ver, até encontrar a correta (testes sem reposição).
  • Perguntas:
    (a) Definir um espaço amostral para o experimento.
    (b) Determinar os possíveis valores da variável aleatória X = “número de chaves testadas até conseguir abrir a porta”.
    (c) Obter a distribuição de probabilidade de X.

Passo 2

Escolhendo um modelo adequado para o espaço amostral (explicação didática):
  • Como as chaves são distintas e ele vai testá‑las em alguma ordem sem repetir, uma descrição natural do experimento é: o resultado é a ordem na qual as quatro chaves são testadas.
  • Um jeito claro de formalizar isso é enumerar as chaves por \{1,2,3,4\} (ou usar nomes). Cada resultado possível é então uma permutação ordenada desses quatro símbolos, por exemplo (2,4,1,3) significa que a primeira testada é a chave 2, depois a 4, depois a 1 e por último a 3.
  • Esse modelo cobre exatamente todas as possibilidades de como os testes podem ocorrer até abrir a porta (a posição da chave correta na permutação indica em que tentativa ele consegue abrir).

Passo 3

Construindo explicitamente o espaço amostral:
  • O conjunto de todas as permutações de \{1,2,3,4\} tem 4! elementos.
  • Portanto, uma definição clara é
\Omega=\{\text{todas as permutações ordenadas de } \{1,2,3,4\}\},çõ
isto é, \Omega tem 4!=24 resultados possíveis.

Passo 4

Explicando como a variável X é obtida a partir do espaço amostral:
  • Identifique qual símbolo (por exemplo, suponha que a chave correta seja chamada de C) representa a chave que abre a porta. Em cada permutação, a posição do símbolo C diz em qual tentativa a porta foi aberta.
  • Assim, X é simplesmente a posição de C na permutação. Logo os valores possíveis de X são as posições possíveis:
X\in\{1,2,3,4\}.

Passo 5

Cálculo das probabilidades (método por contagem, com explicação):
  • Para fixar k\in\{1,2,3,4\}, quantas permutações têm a chave correta C na posição k? As outras três chaves podem aparecer nas demais posições em qualquer ordem, ou seja, 3! maneiras.
  • O número total de permutações é 4!. Se assumirmos que, por falta de informação, todas as ordens de teste são igualmente prováveis (modelo natural quando ele escolhe aleatoriamente sem ver), então
P(X=k)=\frac{3!}{4!}=\frac{6}{24}=\frac14,\qquad k=1,2,3,4.

Passo 6

Intuição alternativa (método por probabilidade condicional, mesmo resultado):
  • Pode também ver assim:
    • P(X=1)= probabilidade de acertar na 1ª tentativa =1/4.
    • P(X=2)= probabilidade de errar a 1ª (prob 3/4) e acertar a 2ª dentre as 3 restantes (prob 1/3), então P(X=2)=(3/4)\cdot(1/3)=1/4.
    • De forma análoga P(X=3)=(3/4)\cdot(2/3)\cdot(1/2)=1/4 e P(X=4)=(3/4)\cdot(2/3)\cdot(1/2)\cdot(1/1)=1/4.
  • Esse cálculo condicionado reforça por que todas as probabilidades são iguais a 1/4.

Passo 7

Conclusão final — distribuição:
  • A variável X assume valores 1,2,3,4 com probabilidades iguais:
P(X=k)=\frac14,\qquad k=1,2,3,4.

Resposta

(a) \Omega=\{\text{todas as permutações de } \{1,2,3,4\}\}çõ (24 resultados).
(b) \{1,2,3,4\}.
(c) P(X=k)=\tfrac{1}{4} para k=1,2,3,4.

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