O tempo
, em minutos, necessário para um operário processar certa peça é uma v.a com a seguinte distribuição de probabilidade
t
3
4
5
6
7
0,1
0,3
0,2
0,2
0,1
(a) (1 pt) Obtenha a f.d.a e faça seu gráfico.
(b) (1 pt) Uma peça será processada agora. Você vai apostar, com um amigo, quanto tempo o operário leva para finalizar a peça. Ganha quem disser o tempo mais próximo do tempo de processamento. A fim de ganhar a aposta, você apostaria em quanto tempo? Por que?
(c) (1 pt) Calcule a variância de X.
(d) (1 pt) As máquinas passaram por manutenção e ficaram mais eficientes, de modo que o tempo em qualquer cenário diminuiu em 1 minuto.
que ocorre com esperança e variância de
?
(e) (1 pt) Se as máquinas estiverem operando em más condições, o tempo de processamento dobra. O que ocorre com a esperança e variância nessa situação?
| t | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
|
|
0,1 | 0,3 | 0,2 | 0,2 | 0,1 |
(b) (1 pt) Uma peça será processada agora. Você vai apostar, com um amigo, quanto tempo o operário leva para finalizar a peça. Ganha quem disser o tempo mais próximo do tempo de processamento. A fim de ganhar a aposta, você apostaria em quanto tempo? Por que?
(c) (1 pt) Calcule a variância de X.
(d) (1 pt) As máquinas passaram por manutenção e ficaram mais eficientes, de modo que o tempo em qualquer cenário diminuiu em 1 minuto.
(e) (1 pt) Se as máquinas estiverem operando em más condições, o tempo de processamento dobra. O que ocorre com a esperança e variância nessa situação?
Passo 1
O enunciado nos dá os possíveis tempos
(em minutos) e as probabilidades associadas
na tabela:
As perguntas são:
(a) obter a função de distribuição acumulada (f.d.a.) e fazer seu gráfico;
(b) para apostar qual tempo escolho para ganhar (quem disser o tempo mais próximo do tempo real); justificar;
(c) calcular a variância de ;
(d) se todos os tempos diminuem em 1 minuto, o que ocorre com esperança e variância;
(e) se os tempos dobram, o que ocorre com esperança e variância.
(a) obter a função de distribuição acumulada (f.d.a.) e fazer seu gráfico;
(b) para apostar qual tempo escolho para ganhar (quem disser o tempo mais próximo do tempo real); justificar;
(c) calcular a variância de
(d) se todos os tempos diminuem em 1 minuto, o que ocorre com esperança e variância;
(e) se os tempos dobram, o que ocorre com esperança e variância.
Observação importante sobre os dados fornecidos: somando as probabilidades temos
Isso significa que, como está, a tabela não é uma distribuição válida. Vou assumir que houve um pequeno erro de escrita e que devemos trabalhar com uma distribuição válida. A forma mais natural (e comum nesses problemas) é normalizar as probabilidades dadas dividindo cada uma por
para obter uma distribuição que soma
. Vou adotar essa normalização e indicarei explicitamente as probabilidades normalizadas que uso em todos os cálculos a seguir.
Passo 2
Calcular as probabilidades normalizadas. Dividindo cada
por
obtemos:
Verificação rápida da soma:
Assim temos uma distribuição de probabilidade válida e usaremos essas probabilidades daqui em diante.
Passo 3
Construir a função de distribuição acumulada (f.d.a.)
. Para uma variável discreta,
é uma função em degraus que soma as probabilidades até cada valor. Usando as probabilidades normalizadas:
Como desenhar o gráfico (passo a passo para a prova): desenhe o eixo horizontal para
e o eixo vertical para
entre 0 e 1. Faça uma função em degraus:
- Para
: . - Em
há um salto de altura : no ponto colocar um círculo fechado em e, imediatamente à esquerda, valor . - Em
salto para (círculo fechado em ); entre e o valor é . - Em
salto para ; entre e o valor é . - Em
salto para ; entre e o valor é . - Em
o valor é .
Esse é o passo a passo para desenhar o gráfico no caderno — degraus com alturas indicadas.
Passo 4
Decisão de aposta (parte b): qual tempo escolher para ficar mais próximo do tempo real?
Conceito importante (explicado de forma intuitiva): se o objetivo é minimizar o erro absoluto médio
ao escolher um palpite
, a melhor escolha é qualquer mediana da distribuição. A mediana
satisfaz
e
. Intuição: mover o palpite um pouco para mais ou para menos troca quantas observações ficam mais perto/mais longe, e no ponto onde essas massas se equilibram obtém-se o mínimo do erro absoluto esperado.
Calcular a mediana usando a f.d.a. que encontramos:
e
. Logo a menor
tal que
é
. Portanto a mediana é
. Conclusão prática para a aposta: apostaria em
minutos, porque é o valor que minimiza o erro absoluto médio (fica, em média, mais próximo do tempo real).
Comentário adicional (útil para prova): a média aritmética também está próxima; calcular a média ajuda a entender a distribuição, mas para o critério “mais próximo” (erro absoluto) a mediana é o correto.
Passo 5
Cálculo da esperança
(usada também para comparação). Fórmula para variável discreta:
Usando as probabilidades normalizadas:
A média é
.
Passo 6
Cálculo da variância (parte c). Fórmula usada (fórmula prática que costuma aparecer na prova):
onde
Calcule
:
Agora a variância:
Colocando num denominador comum
:
logo
Portanto
.
Passo 7
Impacto de reduzir 1 minuto em todos os tempos (parte d).
Defina
. Propriedades usadas (explicação curta e prática):
- Esperança é linear:
. - Variância responde a constantes:
.
Aplicando com
e
:
e
Interpretação simples para a prova: subtrair uma constante desloca a média pela mesma constante e não altera a variância.
Passo 8
Impacto de dobrar os tempos (parte e).
Defina
. Usando as mesmas propriedades com
,
:
e
Interpretação: multiplicar por
dobra a média e multiplica a variância por
.
Resposta
(a) A f.d.a. (usando as probabilidades normalizadas) é
Gráfico: função em degraus com saltos nas abscissas
de alturas indicadas acima.
(b) Apostaria em
minutos (é a mediana; minimiza o erro absoluto médio).
(c)
(d) Se todos os tempos diminuem 1 minuto:
diminui em
minuto, ficando
; a variância permanece
(e) Se os tempos dobram: a esperança dobra para
e a variância multiplica por
, ficando