O tempo T, em minutos, necessário para um operário processar certa peça é uma v.a com a seguinte distribuição de probabilidade
t 3 4 5 6 7
\mathrm{p}(\mathrm{t}) 0,1 0,3 0,2 0,2 0,1
(a) (1 pt) Obtenha a f.d.a e faça seu gráfico.
(b) (1 pt) Uma peça será processada agora. Você vai apostar, com um amigo, quanto tempo o operário leva para finalizar a peça. Ganha quem disser o tempo mais próximo do tempo de processamento. A fim de ganhar a aposta, você apostaria em quanto tempo? Por que?
(c) (1 pt) Calcule a variância de X.
(d) (1 pt) As máquinas passaram por manutenção e ficaram mais eficientes, de modo que o tempo em qualquer cenário diminuiu em 1 minuto. O que ocorre com esperança e variância de X ?
(e) (1 pt) Se as máquinas estiverem operando em más condições, o tempo de processamento dobra. O que ocorre com a esperança e variância nessa situação?

Passo 1

O enunciado nos dá os possíveis tempos t (em minutos) e as probabilidades associadas p(t) na tabela:
\begin{array}{c|ccccc} t & 3 & 4 & 5 & 6 & 7\\hline p(t) & 0,1 & 0,3 & 0,2 & 0,2 & 0,1 \end{array}
As perguntas são:
(a) obter a função de distribuição acumulada (f.d.a.) e fazer seu gráfico;
(b) para apostar qual tempo escolho para ganhar (quem disser o tempo mais próximo do tempo real); justificar;
(c) calcular a variância de X;
(d) se todos os tempos diminuem em 1 minuto, o que ocorre com esperança e variância;
(e) se os tempos dobram, o que ocorre com esperança e variância.
Observação importante sobre os dados fornecidos: somando as probabilidades temos
0,1+0,3+0,2+0,2+0,1=0,9\neq1.
Isso significa que, como está, a tabela não é uma distribuição válida. Vou assumir que houve um pequeno erro de escrita e que devemos trabalhar com uma distribuição válida. A forma mais natural (e comum nesses problemas) é normalizar as probabilidades dadas dividindo cada uma por 0{,}9 para obter uma distribuição que soma 1. Vou adotar essa normalização e indicarei explicitamente as probabilidades normalizadas que uso em todos os cálculos a seguir.

Passo 2

Calcular as probabilidades normalizadas. Dividindo cada p(t) por 0{,}9 obtemos:
\begin{aligned} \Pr(X=3)&=\frac{0{,}1}{0{,}9}=\frac{1}{9},\\\ \Pr(X=4)&=\frac{0{,}3}{0{,}9}=\frac{1}{3}=\frac{3}{9},\\\ \Pr(X=5)&=\frac{0{,}2}{0{,}9}=\frac{2}{9},\\\ \Pr(X=6)&=\frac{0{,}2}{0{,}9}=\frac{2}{9},\\\ \Pr(X=7)&=\frac{0{,}1}{0{,}9}=\frac{1}{9}. \end{aligned}
Verificação rápida da soma:
\frac{1}{9}+\frac{3}{9}+\frac{2}{9}+\frac{2}{9}+\frac{1}{9}=\frac{9}{9}=1.
Assim temos uma distribuição de probabilidade válida e usaremos essas probabilidades daqui em diante.

Passo 3

Construir a função de distribuição acumulada (f.d.a.) F(t)=\Pr(X\le t). Para uma variável discreta, F(t) é uma função em degraus que soma as probabilidades até cada valor. Usando as probabilidades normalizadas:
\begin{aligned} F(3)&=\Pr(X\le3)=\Pr(X=3)=\frac{1}{9}\approx0,111\ldots,\\\ F(4)&=\Pr(X\le4)=\Pr(X=3)+\Pr(X=4)=\frac{1+3}{9}=\frac{4}{9}\approx0,444\ldots,\\\ F(5)&=\Pr(X\le5)=\frac{4+2}{9}=\frac{6}{9}=\frac{2}{3}\approx0,666\ldots,\\\ F(6)&=\Pr(X\le6)=\frac{6+2}{9}=\frac{8}{9}\approx0,888\ldots,\\\ F(7)&=\Pr(X\le7)=1. \end{aligned}
Como desenhar o gráfico (passo a passo para a prova): desenhe o eixo horizontal para t e o eixo vertical para F(t) entre 0 e 1. Faça uma função em degraus:
  • Para t<3: F(t)=0.
  • Em t=3 há um salto de altura \tfrac{1}{9}: no ponto t=3 colocar um círculo fechado em \bigl(3,\tfrac{1}{9}\bigr) e, imediatamente à esquerda, valor 0.
  • Em t=4 salto para \tfrac{4}{9} (círculo fechado em \bigl(4,\tfrac{4}{9}\bigr)); entre 3 e 4 o valor é \tfrac{1}{9}.
  • Em t=5 salto para \tfrac{2}{3}; entre 4 e 5 o valor é \tfrac{4}{9}.
  • Em t=6 salto para \tfrac{8}{9}; entre 5 e 6 o valor é \tfrac{2}{3}.
  • Em t\ge7 o valor é 1.
    Esse é o passo a passo para desenhar o gráfico no caderno — degraus com alturas indicadas.

Passo 4

Decisão de aposta (parte b): qual tempo escolher para ficar mais próximo do tempo real?
Conceito importante (explicado de forma intuitiva): se o objetivo é minimizar o erro absoluto médio \mathbb{E}\bigl[|X-a|\bigr] ao escolher um palpite a, a melhor escolha é qualquer mediana da distribuição. A mediana m satisfaz \Pr(X\le m)\ge\frac{1}{2} e \Pr(X\ge m)\ge\frac{1}{2}. Intuição: mover o palpite um pouco para mais ou para menos troca quantas observações ficam mais perto/mais longe, e no ponto onde essas massas se equilibram obtém-se o mínimo do erro absoluto esperado.
Calcular a mediana usando a f.d.a. que encontramos: F(4)=\tfrac{4}{9}<\tfrac{1}{2} e F(5)=\tfrac{2}{3}>\tfrac{1}{2}. Logo a menor t tal que F(t)\ge\tfrac{1}{2} é t=5. Portanto a mediana é 5. Conclusão prática para a aposta: apostaria em 5 minutos, porque é o valor que minimiza o erro absoluto médio (fica, em média, mais próximo do tempo real).
Comentário adicional (útil para prova): a média aritmética também está próxima; calcular a média ajuda a entender a distribuição, mas para o critério “mais próximo” (erro absoluto) a mediana é o correto.

Passo 5

Cálculo da esperança \mathbb{E}[X] (usada também para comparação). Fórmula para variável discreta:
\mathbb{E}[X]=\sum_{t} t\Pr(X=t).
Usando as probabilidades normalizadas:
\begin{aligned} \mathbb{E}[X] &=3\cdot\frac{1}{9}+4\cdot\frac{3}{9}+5\cdot\frac{2}{9}+6\cdot\frac{2}{9}+7\cdot\frac{1}{9}\\\ &=\frac{3+12+10+12+7}{9}=\frac{44}{9}\approx4{,}888\ldots \end{aligned}
A média é \mathbb{E}[X]=\dfrac{44}{9}.

Passo 6

Cálculo da variância (parte c). Fórmula usada (fórmula prática que costuma aparecer na prova):
\operatorname{Var}(X)=\mathbb{E}[X^{2}]-\bigl(\mathbb{E}[X]\bigr)^{2},
onde
\mathbb{E}[X^{2}]=\sum_{t} t^{2}\Pr(X=t).
Calcule \mathbb{E}[X^{2}]:
\begin{aligned} \mathbb{E}[X^{2}] &=3^{2}\cdot\frac{1}{9}+4^{2}\cdot\frac{3}{9}+5^{2}\cdot\frac{2}{9}+6^{2}\cdot\frac{2}{9}+7^{2}\cdot\frac{1}{9}\\\ &=\frac{9+48+50+72+49}{9}=\frac{228}{9}=\frac{76}{3}. \end{aligned}
Agora a variância:
\begin{aligned} \operatorname{Var}(X) &=\frac{76}{3}-\left(\frac{44}{9}\right)^{2} =\frac{76}{3}-\frac{1936}{81}. \end{aligned}
Colocando num denominador comum 81:
\frac{76}{3}=\frac{76\cdot27}{81}=\frac{2052}{81},
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\operatorname{Var}(X)=\frac{2052-1936}{81}=\frac{116}{81}\approx1{,}4321.
Portanto \operatorname{Var}(X)=\dfrac{116}{81}\approx1{,}4321.

Passo 7

Impacto de reduzir 1 minuto em todos os tempos (parte d).
Defina Y=X-1. Propriedades usadas (explicação curta e prática):
  • Esperança é linear: \mathbb{E}[aX+b]=a\mathbb{E}[X]+b.
  • Variância responde a constantes: \operatorname{Var}(aX+b)=a^{2}\operatorname{Var}(X).
Aplicando com a=1 e b=-1:
\mathbb{E}[Y]=\mathbb{E}[X-1]=\mathbb{E}[X]-1=\frac{44}{9}-1=\frac{35}{9}\approx3{,}888\ldots,
e
\operatorname{Var}(Y)=\operatorname{Var}(X)=\frac{116}{81}\approx1{,}4321.
Interpretação simples para a prova: subtrair uma constante desloca a média pela mesma constante e não altera a variância.

Passo 8

Impacto de dobrar os tempos (parte e).
Defina Z=2X. Usando as mesmas propriedades com a=2, b=0:
\mathbb{E}[Z]=2\mathbb{E}[X]=2\cdot\frac{44}{9}=\frac{88}{9}\approx9{,}777\ldots,
e
\operatorname{Var}(Z)=2^{2}\operatorname{Var}(X)=4\cdot\frac{116}{81}=\frac{464}{81}\approx5{,}7284.
Interpretação: multiplicar por 2 dobra a média e multiplica a variância por 2^{2}=4.

Resposta

(a) A f.d.a. (usando as probabilidades normalizadas) é
F(3)=\tfrac{1}{9},\quad F(4)=\tfrac{4}{9},\quad F(5)=\tfrac{2}{3},\quad F(6)=\tfrac{8}{9},\quad F(7)=1.
Gráfico: função em degraus com saltos nas abscissas 3,4,5,6,7 de alturas indicadas acima.
(b) Apostaria em 5 minutos (é a mediana; minimiza o erro absoluto médio).
(c) \operatorname{Var}(X)=\dfrac{116}{81}\approx1{,}4321.
(d) Se todos os tempos diminuem 1 minuto: \mathbb{E}[X] diminui em 1 minuto, ficando \dfrac{35}{9}\approx3{,}888\ldots; a variância permanece \dfrac{116}{81}\approx1{,}4321.
(e) Se os tempos dobram: a esperança dobra para \dfrac{88}{9}\approx9{,}777\ldots e a variância multiplica por 4, ficando \dfrac{464}{81}\approx5{,}7284.

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