Há um número infinito de números primos.
Passo 1
Então, o que a gente precisa resolver aqui é mostrar que não existe uma quantidade finita de números primos, ou seja, que há um número infinito de números primos. Para isso, vamos usar alguns conceitos básicos de matemática, como números primos e provas por contradição.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que são números primos. Um número primo é um número inteiro maior que 1 que só pode ser dividido por 1 e por ele mesmo. Por exemplo, 2, 3, 5, 7, 11 são todos números primos.
Passo 3
Agora, vamos imaginar que a afirmação contrária seja verdadeira, ou seja, que há apenas uma quantidade finita de números primos. Vamos supor que esses números primos são:
.
Passo 4
Com essa lista finita de primos, vamos construir um novo número chamado
, que é igual ao produto de todos esses primos mais 1. Em fórmula, fica assim:
Passo 5
O próximo passo é analisar se
é um número primo. Se for, então encontramos um número primo que não está na nossa lista original, o que contraria nossa suposição inicial de que tínhamos listados todos os primos.
Passo 6
Mas se
não for primo, ele deve ser divisível por algum número primo. No entanto, vamos ver o que acontece quando tentamos dividir
por qualquer um dos primos da nossa lista original
.
Substituindo
na divisão:
Isso resulta em:
O que simplifica para:
Isso significa que, ao dividir
por qualquer primo da lista, sempre sobra 1, ou seja, não é uma divisão exata.
Passo 7
Portanto, chegamos a uma contradição:
não é divisível por nenhum dos primos que listamos inicialmente, mas
deve ter pelo menos um divisor primo (por definição de números compostos). Isso significa que nossa suposição de que temos uma lista completa de todos os números primos está errada.
Resposta
Assim, mostramos que não é possível listar todos os números primos, o que prova que há um número infinito de números primos.