Seja x um número inteiro. Prove que x é ímpar se e somente se x + 1 for par.

Passo 1

Vamos lá! A questão pede para provar que um número inteiro x é ímpar se e somente se for par. Isso quer dizer que precisamos mostrar duas coisas:
  1. Se x é ímpar, então é par.
  2. Se é par, então x é ímpar.
Para resolver isso, vamos usar as definições de números pares e ímpares:
  • Número par: é qualquer número que pode ser escrito como , onde k é um inteiro.
  • Número ímpar: é qualquer número que pode ser escrito como , onde k é um inteiro.

Passo 2

Primeiro, vamos provar que se x é ímpar, então é par.
Suponha que x seja ímpar. Pela definição, podemos escrever:
onde k é um inteiro.
Agora, vamos calcular :
Note que é múltiplo de 2, ou seja, é par.

Passo 3

Agora, vamos provar que se é par, então x é ímpar.
Suponha que seja par. Pela definição, podemos escrever:
onde m é um inteiro.
Vamos isolar x:
Aqui, x está na forma , onde é um inteiro. Portanto, x é ímpar.

Resposta

Assim, provamos que x é ímpar se e somente se for par.

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