Seja
um número inteiro. Prove que
é ímpar se e somente se
for par.
Passo 1
Vamos lá! A questão pede para provar que um número inteiro
é ímpar se e somente se
for par. Isso quer dizer que precisamos mostrar duas coisas:
- Se
é ímpar, então é par. - Se
é par, então é ímpar.
Para resolver isso, vamos usar as definições de números pares e ímpares:
- Número par: é qualquer número que pode ser escrito como
, onde é um inteiro. - Número ímpar: é qualquer número que pode ser escrito como
, onde é um inteiro.
Passo 2
Primeiro, vamos provar que se
é ímpar, então
é par.
Suponha que
seja ímpar. Pela definição, podemos escrever:
onde
é um inteiro.
Agora, vamos calcular
:
Note que
é múltiplo de 2, ou seja,
é par.
Passo 3
Agora, vamos provar que se
é par, então
é ímpar.
Suponha que
seja par. Pela definição, podemos escrever:
onde
é um inteiro.
Vamos isolar
:
Aqui,
está na forma
, onde
é um inteiro. Portanto,
é ímpar.
Resposta
Assim, provamos que
é ímpar se e somente se
for par.