Sejam
. e
, dada por
Encontre os valores extremantes de
restitos ao conjunto
.
Passo 1
O enunciado pede para achar os pontos de máximo e mínimo da função f(x,y)=3y²–2y³–3x²+6xy sobre o conjunto A={(x,y)∈ℝ²; x≥0, 0≤y≤9–x}. Isso é um problema de otimização em um conjunto compacto: precisamos achar pontos críticos no interior (∇f=0) e depois verificar as fronteiras de A.
Passo 2
No interior de A (x>0 e 0<y<9–x), calculamos o gradiente de f:
e
. Pontos críticos satisfazem ambas derivadas iguais a zero.
De segue y=x. Substituindo em
com y=x, obtemos 12x–6x²=0, ou seja x=0 ou x=2. O ponto (2,2) está no interior de A; (0,0) fica na fronteira.
De
Passo 3
Na fronteira x=0 com y∈[0,9], temos f(0,y)=3y²–2y³. Sua derivada
dá y=0 e y=1. Além disso, os extremos do segmento ocorrem em y=0 e y=9.
Passo 4
Na fronteira y=0 com x∈[0,9], f(x,0)=–3x² e
dá x=0. Também checamos x=9 como extremo do intervalo.
Passo 5
Na fronteira y=9–x com x∈[0,9], definimos
Diferenciando,
cuja solução em [0,9] é x=10-√19≈5.641, gerando o ponto (10-√19,9-(10-√19)).
Passo 6
Avaliamo f em todos os candidatos:
• (2,2): 8
• (0,1): 1
• (0,9): -1215
• (9,0): -243
• (10-√19, -1+√19): ≈ -23.69
• (0,0): 0
Comparando, o maior valor é 8 em (2,2) e o menor é -1215 em (0,9).
• (2,2): 8
• (0,1): 1
• (0,9): -1215
• (9,0): -243
• (10-√19, -1+√19): ≈ -23.69
• (0,0): 0
Comparando, o maior valor é 8 em (2,2) e o menor é -1215 em (0,9).
Resposta
O máximo global ocorre em (2,2) com f(2,2)=8 e o mínimo global ocorre em (0,9) com f(0,9)=-1215.