Sejam A=(x, y) in R^2 ; x >= 0,0 <= y <= 9-x. e f: R^2 R, dada por
f(x, y)=3 y^2-2 y^3-3 x^2+6 x y
Encontre os valores extremantes de f restitos ao conjunto A.

Passo 1

O enunciado pede para achar os pontos de máximo e mínimo da função f(x,y)=3y²–2y³–3x²+6xy sobre o conjunto A={(x,y)∈ℝ²; x≥0, 0≤y≤9–x}. Isso é um problema de otimização em um conjunto compacto: precisamos achar pontos críticos no interior (∇f=0) e depois verificar as fronteiras de A.

Passo 2

No interior de A (x>0 e 0<y<9–x), calculamos o gradiente de f: partial fpartial x=-6x+6y e partial fpartial y=6y-6y^2+6x. Pontos críticos satisfazem ambas derivadas iguais a zero.
De partial fpartial x=6(y-x)=0 segue y=x. Substituindo em partial fpartial y=6y-6y^2+6x=0 com y=x, obtemos 12x–6x²=0, ou seja x=0 ou x=2. O ponto (2,2) está no interior de A; (0,0) fica na fronteira.

Passo 3

Na fronteira x=0 com y∈[0,9], temos f(0,y)=3y²–2y³. Sua derivada f'y=6y(1-y)=0 dá y=0 e y=1. Além disso, os extremos do segmento ocorrem em y=0 e y=9.

Passo 4

Na fronteira y=0 com x∈[0,9], f(x,0)=–3x² e f'x=6x=0 dá x=0. Também checamos x=9 como extremo do intervalo.

Passo 5

Na fronteira y=9–x com x∈[0,9], definimos
g(x)=f(x,9-x)=-1215+486x-60x^2+2x^3
Diferenciando,
g'(x)=6x^2-120x+486=0,
cuja solução em [0,9] é x=10-√19≈5.641, gerando o ponto (10-√19,9-(10-√19)).

Passo 6

Avaliamo f em todos os candidatos:
• (2,2): 8
• (0,1): 1
• (0,9): -1215
• (9,0): -243
• (10-√19, -1+√19): ≈ -23.69
• (0,0): 0
Comparando, o maior valor é 8 em (2,2) e o menor é -1215 em (0,9).

Resposta

O máximo global ocorre em (2,2) com f(2,2)=8 e o mínimo global ocorre em (0,9) com f(0,9)=-1215.

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