En los ejercicios , determine el centro de masa de los cuerpos homogéneos limitados por las superficies indicadas. .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar o centro de massa de um corpo homogêneo limitado pela superfície da esfera , mas só na região onde , e . Isso significa que estamos trabalhando com o oitavo de esfera, que é a parte da esfera no primeiro octante.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo de centro de massa para sólidos, especificamente integrando sobre a região delimitada. Vamos calcular as coordenadas $ \overline{x} $, $ \overline{y} $ e $ \overline{z} $ do centro de massa.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que para um corpo homogêneo, a densidade é constante. Isso simplifica nossos cálculos porque a densidade pode ser considerada igual a 1, já que ela cancela nas fórmulas.
A fórmula para o centro de massa em cada direção é:
E de forma análoga para $ \overline{y} $ e $ \overline{z} $. Aqui, $ V $ é o volume do sólido $ D $.
Passo 3
Vamos calcular o volume $ V $ do oitavo de esfera. Sabemos que o volume de uma esfera completa de raio 1 é $ \frac{4}{3}\pi $. Como estamos trabalhando com um oitavo da esfera, o volume será:
V
Passo 4
Agora, vamos calcular a integral $ \int\int\int_{D} x , dV $. Para isso, é útil usar coordenadas esféricas, onde:
Substituindo os valores das integrais na expressão de $ \overline{x} $:
x
Como o sólido é simétrico em relação aos eixos $ y $ e $ z $, os mesmos cálculos valem para $ \overline{y} $ e $ \overline{z} $.
Resposta
O centro de massa do corpo homogêneo limitado pela esfera x^2 + y^2 + z^2 = 1 no primeiro octante é $ \left(\frac{3}{8}, \frac{3}{8}, \frac{3}{8}\right) $.