En los ejercicios 14-21, determine el centro de masa de los cuerpos homogéneos limitados por las superficies indicadas.
x^2+y^2+z^2=1, x >= 0, y >= 0, z >= 0.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar o centro de massa de um corpo homogêneo limitado pela superfície da esfera x^2 + y^2 + z^2 = 1, mas só na região onde x >= 0, y >= 0 e z >= 0. Isso significa que estamos trabalhando com o oitavo de esfera, que é a parte da esfera no primeiro octante.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo de centro de massa para sólidos, especificamente integrando sobre a região delimitada. Vamos calcular as coordenadas $ \overline{x} $, $ \overline{y} $ e $ \overline{z} $ do centro de massa.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para um corpo homogêneo, a densidade é constante. Isso simplifica nossos cálculos porque a densidade pode ser considerada igual a 1, já que ela cancela nas fórmulas.
A fórmula para o centro de massa em cada direção é:
x = 1V integralintegralintegralD x , dV
E de forma análoga para $ \overline{y} $ e $ \overline{z} $. Aqui, $ V $ é o volume do sólido $ D $.

Passo 3

Vamos calcular o volume $ V $ do oitavo de esfera. Sabemos que o volume de uma esfera completa de raio 1 é $ \frac{4}{3}\pi $. Como estamos trabalhando com um oitavo da esfera, o volume será:
V

Passo 4

Agora, vamos calcular a integral $ \int\int\int_{D} x , dV $. Para isso, é útil usar coordenadas esféricas, onde:
integralintegralintegralD x , dV
x = rho sinphi costheta
y = rho sinphi sintheta
z = rho cosphi
No nosso caso, como estamos no primeiro octante:
dV = rho^2 sinphi , drho , dphi , dtheta
rho in [0, 1]
phi in [0, pi2]

Passo 5

Vamos calcular $ \overline{x} $:
x
Simplificando a expressão:
x = 1V integral0^pi2 integral0^pi2 integral0^1 rho sinphi costheta cdot rho^2 sinphi , drho , dphi , dtheta

Passo 6

Vamos resolver a integral passo a passo. Primeiro, integremos em relação a $ \rho $:
rho
Então, a expressão fica:
integral0^1 rho^3 , drho = [ rho^44 ]0^1 = 14

Passo 7

Vamos resolver as integrais restantes. Primeiro, a integral em $ \theta $:
theta
Agora, a integral em $ \phi $:
integral0^pi2 costheta , dtheta = [ sintheta ]0^pi2 = 1 - 0 = 1

Passo 8

Substituindo os valores das integrais na expressão de $ \overline{x} $:
x
Como o sólido é simétrico em relação aos eixos $ y $ e $ z $, os mesmos cálculos valem para $ \overline{y} $ e $ \overline{z} $.

Resposta

O centro de massa do corpo homogêneo limitado pela esfera x^2 + y^2 + z^2 = 1 no primeiro octante é $ \left(\frac{3}{8}, \frac{3}{8}, \frac{3}{8}\right) $.

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