En los ejercicios 25-29, determine el valor medio de la función
dada en la región indicada.
, en
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você quer encontrar o valor médio da função $ f(x, y, z) = x $ na região $ \Omega = [0,1] \times [0,1] \times [0,1] $. Basicamente, estamos trabalhando com cálculo de integrais múltiplas para encontrar a média de uma função em um espaço tridimensional. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular a integral tripla e o conceito de valor médio.
Passo 2
Primeiro, lembremos que o valor médio de uma função $ f(x, y, z) $ em uma região $ \Omega $ é dado por:
Aqui, $ \iiint $ representa a integral tripla sobre a região $ \Omega $, e $ Volume(\Omega) $ é o volume da região onde estamos calculando a média.
Passo 3
No nosso caso, a região $ \Omega $ é o cubo unitário $ [0,1] \times [0,1] \times [0,1] $. O volume desse cubo é simplesmente:
Então, o denominador na fórmula do valor médio será 1, o que simplifica nossa conta.
Passo 4
Agora, vamos calcular a integral tripla da função $ f(x, y, z) = x $ sobre $ \Omega $. A integral fica assim:
Vamos resolver essa integral passo a passo, integrando em relação a $ z $, depois a $ y $ e, por fim, a $ x $.
Passo 5
Primeiro, integramos em relação a $ z $:
Agora, a integral fica:
Passo 6
Em seguida, integramos em relação a $ y $:
Agora, restou só a integral em relação a $ x $:
Passo 7
Finalmente, integramos em relação a $ x $:
Resposta
O valor médio da função $ f(x, y, z) = x $ na região $ \Omega = [0,1] \times [0,1] \times [0,1] $ é $ \frac{1}{2} $.