En los ejercicios 25-29, determine el valor medio de la función f(x, y, z) dada en la región indicada.
f(x, y, z)=x, en Omega=[0,1] times[0,1] times[0,1].

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você quer encontrar o valor médio da função $ f(x, y, z) = x $ na região $ \Omega = [0,1] \times [0,1] \times [0,1] $. Basicamente, estamos trabalhando com cálculo de integrais múltiplas para encontrar a média de uma função em um espaço tridimensional. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular a integral tripla e o conceito de valor médio.

Passo 2

Primeiro, lembremos que o valor médio de uma função $ f(x, y, z) $ em uma região $ \Omega $ é dado por:
f(x, y, z) é
Aqui, $ \iiint $ representa a integral tripla sobre a região $ \Omega $, e $ Volume(\Omega) $ é o volume da região onde estamos calculando a média.

Passo 3

No nosso caso, a região $ \Omega $ é o cubo unitário $ [0,1] \times [0,1] \times [0,1] $. O volume desse cubo é simplesmente:
Omega
Então, o denominador na fórmula do valor médio será 1, o que simplifica nossa conta.

Passo 4

Agora, vamos calcular a integral tripla da função $ f(x, y, z) = x $ sobre $ \Omega $. A integral fica assim:
f(x, y, z) = x
Vamos resolver essa integral passo a passo, integrando em relação a $ z $, depois a $ y $ e, por fim, a $ x $.

Passo 5

Primeiro, integramos em relação a $ z $:
z
Agora, a integral fica:
integral0^1 x , dz = x integral0^1 dz = x [z]0^1 = x (1 - 0) = x

Passo 6

Em seguida, integramos em relação a $ y $:
y
Agora, restou só a integral em relação a $ x $:
integral0^1 x , dy = x integral0^1 dy = x [y]0^1 = x (1 - 0) = x

Passo 7

Finalmente, integramos em relação a $ x $:
x

Resposta

O valor médio da função $ f(x, y, z) = x $ na região $ \Omega = [0,1] \times [0,1] \times [0,1] $ é $ \frac{1}{2} $.

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