A partir da posição indicada, em que o segmento
se encontra paralelo ao plano do solo, rotaciona-se a High Roller no sentido anti-horário, em torno do ponto
. Sejam
o ângulo determinado pelo segmento
em relação à sua posição inicial, e
a função que descreve a altura do ponto
em relação ao solo, em função de
.
Após duas voltas completas, tem o seguinte gráfico:
Escreva uma expressão da altura em função do ângulo
.
Após duas voltas completas, tem o seguinte gráfico:
Escreva uma expressão da altura em função do ângulo
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma situação onde um segmento $ OA $ está inicialmente paralelo ao chão, e depois gira no sentido anti-horário em torno do ponto $ O $. O ângulo de rotação é representado por $ t $, e queremos encontrar uma função $ f(t) $ que descreva a altura do ponto $ A $ em relação ao solo conforme esse ângulo muda. O conteúdo aqui envolve trigonometria, especificamente funções trigonométricas como seno e cosseno, que nos ajudam a relacionar ângulos com alturas em movimentos circulares.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a movimentação. Imagine que $ O $ é o centro de um círculo e $ A $ está na borda desse círculo. Quando o segmento $ OA $ gira, o ponto $ A $ se move ao redor de $ O $, descrevendo um caminho circular. A altura de $ A $ em relação ao solo vai variar conforme ele sobe e desce nesse círculo.
Passo 3
Para relacionar a altura com o ângulo $ t $, vamos usar a função cosseno. O cosseno de um ângulo em um círculo unitário nos dá a coordenada $ x $, mas como estamos interessados na altura (que seria a coordenada $ y $), usamos o seno. Porém, como $ OA $ inicia paralelo ao chão, nossa altura inicial é zero, então precisamos ajustar a função para refletir isso.
Passo 4
Vamos supor que o raio do círculo seja $ R $. A altura $ f(t) $ do ponto $ A $ pode ser descrita pela função seno, já que o movimento vertical segue essa forma. Como começamos com $ OA $ paralelo ao chão, a altura máxima será quando $ A $ estiver no ponto mais alto do círculo.
Passo 5
Então, a expressão para a altura em função do ângulo $ t $ será:
Essa função nos dá a altura do ponto $ A $ conforme ele gira no círculo de raio $ R $, com $ t $ medindo o ângulo de rotação.
Resposta
A expressão da altura em função do ângulo $ t $ é $ f(t) = R \cdot \sin(t) $.